Category Archive

You are currently browsing the category archive for the 'Olympiad' category.

Một số sách nên đọc đối với học sinh các lớp chuyên Toán

September 30, 2009 in Olympiad | 9 comments

Các bạn học sinh chuyên Toán thân mến, giờ sách nhiều quá rồi đúng không? Chúng mình lại không có thời gian đọc hết chúng! Trong bài này mình sẽ giới thiệu vài cuốn sách nên đọc theo ý kiến của mình, thuộc các phân môn Hình học, Đại số, Lý thuyết số, và Tổ hợp. Các bạn học sinh và các thầy cô giáo có thể trao đổi thoải mái trong topic này, có thể bình luận về danh sách tôi đưa ra, hay có thể tự mình đưa ra danh sách mới,…Trong danh sách dưới đây tôi sẽ đưa ra đa số sách bằng tiếng Anh, vì lâu quá tôi không biết sách tiếng Việt mấy năm vừa qua viết những gì và sách tiếng Anh có thể tìm trên mạng được. Các bạn bây giờ đọc sách tiếng Anh chắc cũng không vấn đề gì rồi. Gìơ là danh sách

Tổ hợp

[1] Principles and Techniques in Combinatorics, by Chen Chuan-Chong and Koh Khee-Meng

[2] A Path to Combinatorics for Undergraduates: Counting Strategies, by Titu Andreescu and Zuming Feng

[3] 102 Combinatorics Problems, by Titu Andreescu and Zuming Feng

Lý thuyết số

[4] Elementary Number Theory, by David M. Burton

[5] 104 Number Theory Problems: From the Training of the USA IMO Team, by Titu Andreescu, Dorin Andrica, and Zuming Feng

[6] Number Theory: Structures, Examples, and Problems, by Titu Andreescu and Dorin Andrica

Hình học

[7] Toán nâng cao Hình học 10, Nguyễn Minh Hà, NXB GD

[8] Các bài toán Hình học phẳng, V.V. Prasolov

Đại số

[9] Phương trình hàm, Nguyễn Văn Mậu, NXB GD

[10] Bài toán hàm số qua các kỳ thi Olympic, Nguyễn Trọng Tuấn, NXB GD

[11] Các bài giảng về phương trình hàm, bất đẳng thức,… của Pierre Bronsztein và các đồng nghiệp

[12] Đa thức và ứng dụng, Nguyễn Văn Mậu, NXB GD

IMO 2009

July 15, 2009 in Olympiad | 8 comments

Danh sách các bạn thuộc đội tuyển năm nay

1.Hà Khương Duy, lớp 12A1 Toán,Khối THPT chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội.

2.Nguyễn Xuân Cương, lớp 12 Toán 1,THPT chuyên Nguyễn Trãi,Hải Dương.

3.Nguyễn Hoàng Hải, lớp 12A1 ,THPT chuyên Vĩnh Phúc,Vĩnh Phúc.

4.Phạm Đức Hùng, lớp 11 Toán,THPT NK Trần Phú,Hải Phòng.

5.Phạm Hy Hiếu, lớp 11 Toán,PT NK ĐHKHTN-ĐHQG TP Hồ Chí Minh.

6.Tạ Đức Thành, lớp 11 Toán,THPT CHV,Phú Thọ

Các bài toán của ngày thứ nhất:

Bài 1. Cho $n$ là một số nguyên dương và $a_1,\cdots, a_k$ là $k>1$ số nguyên đôi một khác nhau trong $\{1,2,\cdots, n\}$ sao cho $n|a_i(a_{i+1}-1)$ với $i=1,2,\cdots, k-1$ . Chứng minh rằng $n$ không chia hết $a_k(a_1-1)$ .

Bài 2. Cho $ABC$ là một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Các điểm $P,Q$ nằm trên các cạnh $CA, AB$ tương ứng. Gọi $K,L,M$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BP,CQ,PQ$ . Chứng minh rằng nếu $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(KLM)$ thì $OP=OQ$ .

Bài 3. Gỉa sử $(s_i)$ là dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho các dãy con $(s_{s_i})$ và $(s_{s_i+1})$ là các cấp số cộng. Chứng minh rằng dãy số đã cho cũng là một cấp số cộng.

—

Đề ngày 2 sẽ có trong comment dưới đây.

Bài giảng Phương trình hàm của Marko Radovanovíc

July 8, 2009 in Olympiad | 3 comments

Bài giảng này khá gọn. Các bạn lớp 10T lấy về và căn cứ theo đó mà tìm hiểu thêm. Có nhiều cuốn khác về PTH nhưng các bạn còn nhiều cái khác phải học.

funeqn_mr,Marko Radovanovic

To Yosheph: About a polynomial

July 7, 2009 in Olympiad | Leave a comment

Problem. Let $f(x)=x^3-6x^2+17x$ and $a,b\in\mathbb{C}$ such that $f(a)=16, f(b)=20$ . Find $a+b$ .

A hint. Assume that $a+b=h$ , where $h$ is what you are finding! Then $f(a)=16$ and $f(h-a)=20$ , therefore $a$ is a common root of two polynomials $f(x)-16$ and $f(h-x)-20$ .

[THCS] Tứ giác nội tiếp với các đường chéo vuông góc

June 28, 2009 in Olympiad | Leave a comment

tugiacnoitiep_haiduongcheovuonggoc1

[THCS] Bài tập về quan hệ chia hết trong Z

June 26, 2009 in Olympiad | Leave a comment

Đây là phần bài tập cho bài giảng mà tôi đã post ở đây

http://trungtuan.wordpress.com/2009/06/26/thcs-bai-gi%e1%ba%a3ng-th%e1%bb%a9-nh%e1%ba%a5t-v%e1%bb%81-ly-thuy%e1%ba%bft-s%e1%bb%91/

baitapquanhechiahet

[THCS] Bài giảng thứ nhất về Lý thuyết số

June 26, 2009 in Olympiad | 3 comments

Ta đã biết bốn phép toán trên hai số nguyên, đó là cộng, trừ, nhân và chia. Ba phép toán đầu tác động lên hai số nguyên sẽ cho một số nguyên nhưng phép toán thứ tư thì không như thế. Với một số nguyên $m$ và một số nguyên khác không $n$ ta nói $m$ chia hết cho $n$ ( $m$ là bội của $n$ , $n$ là ước của $m$ ) nếu có số nguyên $p$ sao cho $m=np$ , khi sự kiện này xảy ra ta sẽ viết $n|m$ hoặc $m\, \d{:} \, n$ . Thật không may, kí hiệu sau mặc dù được dùng thông dụng trong các sách giáo khoa Số học tại Việt Nam nhưng tôi không thể gõ được nó khi dùng $\LaTeX$ . Bởi thế mà từ giờ cho đến cuối tôi sẽ dùng kí hiệu thứ nhất, các bạn học sinh khi làm bài thi chỉ được dùng ký hiệu thứ hai, thật quá rắc rối!

Định lý 1. Cho các số nguyên $x,y,z$ . Khi đó ta có các tính chất sau

a) $x|x$ ;

b)Nếu $x|y$ và $y|z$ thì $x|z$ ;

c)Nếu $x|y$ và $y\not =0$ thì $|x|\leq |y|$ ;

d)Nếu $x|y$ và $x|z$ thì $x|my+nz\forall m,n\in\mathbb{Z}$ ;

e)Nếu $x|y$ và $x|y\pm z$ thì $x|z$ ;

f)Nếu $x|y$ và $y|x$ thì $|x|=|y|$ .

Định lý 2. Với mỗi số nguyên dương $a$ và $b$ tồn tại duy nhất cặp $(q,r)$ các số nguyên không âm sao cho $a=bq+r$ và $r<b$ . Ta nói $r$ là dư, $q$ là thương trong phép chia $a$ cho $b$ .

Ví dụ. Tìm $q,r$ nếu

a) $a=b=3$ ;

b) $a=78,b=9$ ;

c) $a=9,b=78$ .

Với các số nguyên ta có kết quả sau

Định lý 3. Với các số nguyên $a,b$ mà $b\not = 0$ , tồn tại duy nhất cặp $(q,r)$ các số nguyên sao cho $a=bq+r$ và $0\leq r<|b|$ .

Ví dụ. Tìm $q,r$ nếu $a=-98,b=-7$ .

Hệ quả 1. Mỗi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng $2k+1$ hoặc $2k$ , với $k$ là một số nguyên nào đó.

Hệ quả 2. Mỗi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng $3k,3k+1$ hoặc $3k+2$ với $k$ là số nguyên nào đó.

$\clubsuit$ Bạn có thể đưa ra một kết quả tương tự?

Số nguyên $p>1$ được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước dương là $1$ và $p$ . Vài số nguyên tố đầu tiên là $2,3,5,7,11,13$ .

$\bigstar$ Hãy viết ra $12$ số nguyên tố đầu tiên.

Số nguyên $n>1$ được gọi là một hợp số nếu nó không phải là một số nguyên tố, số $1$ không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số, hãy lưu ý điều này.

Bài 1. Cho số nguyên $n>1$ . Chứng minh rằng ước dương khác $1$ bé nhất của $n$ phải là số nguyên tố. Từ đó suy ra rằng mọi số nguyên lớn hơn $1$ sẽ có ít nhất một ước nguyên tố và có vô số các số nguyên tố.

Bài 2. Nếu $n$ là hợp số thì nó có ít nhất một ước nguyên tố không lớn hơn $\sqrt{n}$ .

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên tố chẵn.

Bài 4. Tìm các số nguyên dương $n$ để tất cả các số $3n-4,4n-5$ và $5n-3$ là nguyên tố.

Bài 5. Nếu $p,q$ là các số nguyên tố sao cho phương trình $x^2-px+q=0$ có hai nghiệm nguyên dương phân biệt, hãy tìm $p,q$ .

Bài 6. Hãy viết ra $2009$ số nguyên dương liên tiếp mà chúng đều là hợp số cả.

Định lý 4 (Định lý cơ bản của số học). Mỗi số nguyên lớn hơn $1$ đều có thể viết một cách duy nhất (không kể thứ tự) thành tích của các số nguyên tố.

Ví dụ. Tìm số các uớc dương của $24,120$ và $600$ . Viết ra công thức cho số ước dương của một số nguyên dương $n$ bất kỳ.

Hệ quả 1. Nếu $p$ là một số nguyên tố, $a$ và $b$ là các số nguyên sao cho $p|ab$ thì $p|a$ hoặc $p|b$ .

Trước khi đến với một hệ quả rất quan trọng chúng ta cần khái niệm ước chung lớn nhất: Cho hai số nguyên không đồng thời bằng $0$ . Ước chung lớn nhất của hai số này là một số nguyên dương, ký hiệu là $(a,b)$ , là ước của cả hai số đó và là số lớn nhất có tính chất này. Nếu $(a,b)=1$ ta nói hai số $a$ và $b$ là nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ. Tìm $(-16,24)$ .

Hệ quả 2.

a)Nếu $a|bc$ và $(a,b)=1$ thì $a|c$ ;

b)Nếu $a|c, b|c$ và $(a,b)=1$ thì $ab|c$ .

Hệ quả b) được dùng rất nhiều trong các bài toán chứng minh quan hệ chia hết. Chẳng hạn, để chứng minh $120|c$ trước tiên ta phân tích $120$ ra thành tích của các số $a_i$ đôi một nguyên tố cùng nhau, sau đó chứng minh $c$ chia hết cho tất cả các nhân tử này. Thường thì ta phân tích luôn số đó ra thừa số nguyên tố vì làm việc với các số nguyên tố nhìn chung là dễ chịu hơn nhiều (trong các bài toán chia hết).

[THCS] Một số bài toán về phương trình bậc hai

June 26, 2009 in Olympiad | 2 comments

Để làm được các bài toán ở đây các học sinh cần chắc các kiến thức về phương trình bậc hai (công thức nghiệm, định lý Viét, phương trình trùng phương,…) và cách giải bài toán xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol.

Bài 1. Cho phương trình $x^2+(2m-1)x-m-3=0. (*)$

a)Tìm các giá trị $m$ để $(*)$ có các nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_2-x_1=7$ ;

b)Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức $P=(x_1-x_2)^2$ có giá trị nhỏ nhất. Ở đây $x_1,x_2$ là các nghiệm của $(*)$ ;

c)Viết một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc $m$ .

Bài 2. Cho phương trình $x^2-2mx-m=0(1).$ Trong đó $m<-1$ là tham số.

a)Chứng minh rằng $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ .

b)Chứng minh rằng $x_1^2+2mx_2-m>0$ .

c)Xác định giá trị của $m$ để biểu thức $A=\dfrac{1}{x_1^2+2mx_2+11(m+1)}+\dfrac{1}{x_2^2+2mx_1+11(m+1)}$ có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 3. Tìm các giá trị $a\in\mathbb{Z}$ sao cho phương trình $5x^2-(2a-5)x+a^2+1=0$ có nghiệm nguyên.

Bài 4. Cho parabol $(P)$ có phưong trình $y=\dfrac{1}{4}x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=\dfrac{1}{2}x+2$ .

a)Chứng minh rằng $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ . Vẽ đường thẳng và parabol trên cùng một hệ trục toạ độ.

b)Xác định toạ độ của $M$ thuộc cung $AB$ của $(P)$ sao cho tam giác $MAB$ có diện tích lớn nhất.

Bài 5. Cho phương trình $(2m+3)x^2+2(m+1)x-1=0(1)$

a)Tìm $m$ để $(1)$ có nghiệm dương nhỏ hơn $1$ ;

b)Tìm $m$ để $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $|x_1^2-x_2^2|=1$ .

Bài 6. Cho parabol $(P)$ có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $mx-y=-1$ . Chứng minh rằng

a)Khi $m$ thay đổi thì $(d)$ luôn đi qua một điểm cố định $M$ và cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ ;

b)Tam giác $OAB$ vuông;

c) $|x_A-x_B|\geq 2$ .

Bài 7. Cho phương trình $mx^2+2(m-2)x+m-3=0$ . (1)

a)Xác định $m$ để (1) có hai nghiệm trái dấu;

b)Xác định $m$ để (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;

c)Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của $x_1^2+x_2^2$ .

Bài 8. Cho $a,b$ là các nghiệm của $x^2+x-1=0$ . Chứng minh rằng $a+b+a^3+b^3$ và $a^2+b^2+a^4+b^4$ là các số nguyên chia hết cho $5$ .

Bài 9. Cho phương trình $x^4-2(m+1)x^2+2m+1=0$ . (1)

a)Giải phương trình (1) khi $m=12$ ;

b)Tìm $m$ để (1) có bốn nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn bốn nghiệm đó trên trục số ta được ba đoạn liên tiếp bằng nhau.

Bài 10. Giải phương trình $(x^2-3x+3)(x^2-2x+3)=2x^2$ .

Bài 11. Cho phương trình $(m^2+1)x^2+2(m^2+1)x-m=0(1)$ , với $m$ là tham số. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $x_1^2+x_2^2$ , với $x_1,x_2$ là các nghiệm của (1).

Bài 12. Cho phương trình $(m+3)x^2-2(m^2+3m)x+m^3+12=0$ . (1)

a)Tìm số nguyên $m$ bé nhất sao cho (1) có hai nghiệm phân biệt;

b)Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình (1). Tìm số nguyên $m$ lớn nhất sao cho $x_1^2+x_2^2$ là số nguyên.

Bài 13. Cho phương trình $(x+1)^4-(m-1)(x+1)^2-m^2+m-1=0$ (1).

a)Giải phương trình với $m=-1$ ;

b)Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ ;

c)Gọi hai nghiệm của (1) là $x_1,x_2$ . Tìm $m$ để $|x_1|+|x_2|=2$ .

Bài 14. Cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=mx+1$ .

a)Chứng minh rằng $(P)$ luôn cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của $m$ ;

b)Gọi $A,B$ là các giao điểm nói trên. Tìm $m$ để $(y_A-1)(y_B-2)$ lớn nhất.

Bài 15. Cho phương trình $x^2+bx+c=0$ với $b,c$ là các tham số thoả mãn $b+c=4$ . Tìm $b,c$ để phương trình có các nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $x_1=x_2^2+x_2$ .

AMM 2008, đề bài và lời giải của tất cả 10 số trong năm

June 22, 2009 in Olympiad | Leave a comment

Nguồn: mathvn.org

[THCS] Các đẳng thức có điều kiện

June 21, 2009 in Olympiad | Leave a comment

Bài 1 . Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=0$ . Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3=3abc.$

Bài 2. Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thoả mãn $x+y+z=0$ .

Chứng minh rằng

$\sum_{\text{cyclic}}\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=\sum_{\text{cyclic}}\dfrac{x^3}{yz}.$

Bài 3. Cho các số thực $a,b,c,d$ thoả mãn $a+b+c+d=0$ . Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab).$

Bài 4. Cho $a,b,c$ là các số thực khác $0$ sao cho $a+b+c=0$ và $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ . Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2=\dfrac{6}{5}.$

Bài 5. Chứng minh rằng nếu $x,y,z$ là các số thực sao cho $x^3+y^3+z^3\not =0$ thì $\dfrac{2xyz-x-y-z}{x^3+y^3+z^3}=\dfrac{2}{3}\Longleftrightarrow x+y+z=0.$

Bài 6. Cho $x,y,z$ là các số thực thoả mãn $\sum (x-y)^2=\sum (x+y-2z)^2$ . Chứng minh rằng $x=y=z$ .

Bài 7. Cho các số thực $a,b,c$ khác $0$ thoả mãn điều kiện $a+2b-3c=0$ và $bc+2ca-3ab=0$ . Chứng minh rằng $a=b=c$ .

Bài 8. Cho ba số $m,n,p$ mà có tổng bằng $0$ . Chứng minh rằng

a) $m^3+m^2p-mnp+n^2p+n^3=0$ ;

b) $(m^2+n^2+p^2)^2-2(m^4+n^4+p^4)=0$ ;

c) $\dfrac{1}{n^2+p^2-m^2}+\dfrac{1}{p^2+m^2-n^2}+\dfrac{1}{m^2+n^2-p^2}=0.$

Bài 9. Chứng tỏ rằng giá trị của hai biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến $m,n,p$ nếu $m+n+p=0$

a) $S=\left(\dfrac{m-n}{p}+\dfrac{n-p}{m}+\dfrac{p-m}{n}\right)\left(\dfrac{p}{m-n}+\dfrac{m}{n-p}+\dfrac{n}{p-m}\right)$ .

b) $T=\left(1+\dfrac{m}{n}\right)\left(1+\dfrac{n}{p}\right)\left(1+\dfrac{p}{m}\right).$

Bài 10. Chứng minh rằng nếu $x,y,z$ là các số thực có tổng bằng $0$ thì

a) $2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)$ , và

b) $10(x^7+y^7+z^7)=7(x^2+y^2+z^2)(x^5+y^5+z^5)$ .

Bài 11. Chứng minh rằng nếu $a,b,c,d$ là các số thực thoả mãn $a^2+b^2=c^2+d^2=1$ và $ac+bd=0$ thì $a^2+c^2=b^2+d^2=1$ và $ab+cd=0$ .

Bài 12. Tính tổng $\dfrac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\dfrac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\dfrac{1}{1+x_3+x_3x_1}$ nếu biết $x_1>0,x_2>0,x_3>0$ và $x_1x_2x_3=1$ .

Bài 13. Chứng minh rằng nếu $m,n,p$ là các số hữu tỷ và $mn+np+pm=1$ thì tích $(1+m^2)(1+n^2)(1+p^2)$ là bình phương của một số hữu tỷ.

	Chứng minh định lý c… on Một chứng minh của “Định…
	trungtuan on Một chứng minh của “Định…
	Duy Khánh on Một chứng minh của “Định…
	trungtuan on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	trungtuan on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	thang3886 on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	trungtuan on Tính tương thích của hai dãy…
	Tun on Tính tương thích của hai dãy…
	trungtuan on Một số sách nên đọc đối với họ…
	99 on Một số sách nên đọc đối với họ…

Category Archive

Một số sách nên đọc đối với học sinh các lớp chuyên Toán

IMO 2009

Bài giảng Phương trình hàm của Marko Radovanovíc

To Yosheph: About a polynomial

[THCS] Tứ giác nội tiếp với các đường chéo vuông góc

[THCS] Bài tập về quan hệ chia hết trong Z

[THCS] Bài giảng thứ nhất về Lý thuyết số

[THCS] Một số bài toán về phương trình bậc hai

AMM 2008, đề bài và lời giải của tất cả 10 số trong năm

[THCS] Các đẳng thức có điều kiện

Categories

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Blogroll

Number Theory Web

Meta

November 2009
M	T	W	T	F	S	S
« Oct
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30