Số nghiệm xạ ảnh của đa thức x^3+y^3+z^3 trong trường hữu hạn có p phần tử

Rõ ràng là không hy vọng gì đếm chính xác số lời giải của một đa tạp trên trường hữu hạn rồi, bài này tôi giới thiệu một trường hợp có thể đếm được.

Định lý. (Gauss) Cho là số lời giải xạ ảnh của phương trình với .

a)Nếu thì ;

b)Nếu thì có các số nguyên sao cho . là duy nhất sai khác dấu, và nếu ta cố định dấu của sao cho thì .

Chứng minh của định lý này dài, không dễ nhưng tuyệt hay, tôi không thể gõ cả nó lên đây được. Ai quan tâm có thể download bên dưới đây (Nó ở trong một cuốn sách của Silverman và Tate tên là Đỉêm hữu tỷ trên đường cong elliptic.)

Gauss

Chuỗi tổng nghịch đảo các số nguyên tố

Bài toán.Cho là dãy tất cả các số nguyên tố. Chứng minh rằng chuỗi là chuỗi phân kỳ.

Lời giải.

Cách chứng minh sau của Clarkson.

Giả sử ngược lại, khi đó có số thỏa mãn . Đặt và xét các số với Tất cả những số này đều không có ước nguyên tố trong tập . Do vậy mà mỗi , theo định lý cơ bản của Số học ta có . Do đó chuỗi tổng nghịch đảo các số đang xét hội tụ, vô lý.

P.S. Hình như có kết quả nói là tổng đầu bài gần bằng khi n đủ lớn.

Một kết quả cổ điển liên quan đến \zeta(k) với k chẵn

Hôm rồi loạng quạng gặp phải kết quả này, họ bảo cổ điển nhưng mình chưa bao giờ nghe thấy và cũng không tài nào tìm thấy!   Mình trích cả nó ra đây, ai biết thì giúp mình cái nhé! Cho luôn file hoặc tên sách thì tốt quá!

…Let be an odd prime number, the group of th roots of unity, and the field of adic numbers. Write for the group of local units in , which are and have norm to . Let be the classical group of cyclotomic units of , which are modulo the unique prime above , and let be the closure of in the -adic topology. Denote by   the Galois group of over , and by the canonical character giving the action of on . Let denote the Riemann zeta function. Then it is classical that, for each even integer with , the -th eigenspace for the action of on is non-trivial if and only if divides …

On $\Gamma$-Extensions of Algebraic Number Fields

In this topic we’ll discuss on the article

”Kenkichi Iwasawa, On -Extensions of Algebraic Number Fields”

Link download

http://uploadwordpress.googlepages.com/iwasawa1.pdf

On Some Properties of $\Gamma$-Finite Modules

In this post we’ll discuss on the article

” Kenkichi Iwasawa, On Some Properties of -Finite Modules ”

Link Download

http://uploadwordpress.googlepages.com/iwasawa3.pdf

Minh and Thinh, Can you?

What is GMW 322?

It is Algebraic Number Theory (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)
by Jürgen Neukirch.

Review
From the review: “The present book has as its aim to resolve a discrepancy in the textbook literature and … to provide a comprehensive introduction to algebraic number theory which is largely based on the modern, unifying conception of (one-dimensional) arithmetic algebraic geometry. … Despite this exacting program, the book remains an introduction to algebraic number theory for the beginner… The author discusses the classical concepts from the viewpoint of Arakelov theory…. The treatment of class field theory is … particularly rich in illustrating complements, hints for further study, and concrete examples…. The concluding chapter VII on zeta-functions and L-series is another outstanding advantage of the present textbook…. The book is, without any doubt, the most up-to-date, systematic, and theoretically comprehensive textbook on algebraic number field theory available.” W. Kleinert in: Zentralblatt für Mathematik, 1992

I am reading this book and I want discuss on it here!