Category Archive

You are currently browsing the category archive for the '[18++]Galois Theory' category.

Trường phân rã của hai đa thức bậc 6 trên Q

August 31, 2009 in [18++]Galois Theory | Leave a comment

Bài toán. Tìm bậc và nhóm Galois của các trường phân rã của các đa thức sau trên \mathbb{Q}

a)f(x)=x^6-2;

b)g(x)=x^6+3.

Lời giải.

a)Gọi A là trường phân rã của f trên \mathbb{Q}. Vì đặc số của \mathbb{Q} bằng 0 và f bất khả quy trong \mathbb{Q}[x](theo tiêu chuẩn Eisenstein với số nguyên tố p=2) nên f tách được trên \mathbb{Q}, do vậy mà A là một mở rộng Galois của \mathbb{Q}. Đầu bài yêu cầu ta tìm \text{Gal} (A/\mathbb{Q}) và [A:\mathbb{Q}]=|\text{Gal} (A/\mathbb{Q})|. Trong \mathbb{C} phương trình f(x)=0 có các nghiệm là x_k=\sqrt[6]{2}\left(\cos\dfrac{2\pi k}{6}+i\sin\dfrac{2\pi k}{6}\right) với k=0,1,2,3,4,5. Như thế A=\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2},\epsilon_6)=\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2},i\sqrt{3}) với \epsilon_6 là một căn nguyên thuỷ bậc 6 cúa đơn vị. Bậc của A trên \mathbb{Q} sẽ chia hết cho bậc của \mathbb{Q}(\sqrt[6]{2}) trên \mathbb{Q}, vì f là đa thức tối tiểu của \sqrt[6]{2} trên \mathbb{Q} nên [\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2}):\mathbb{Q}]=6, do đó [A:\mathbb{Q}]=6,12,18,\cdots. Mặt khác ta có [A:\mathbb{Q}]=[A:\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2})]\cdot [\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2}):\mathbb{Q}]\leq 2\cdot 6=12 vì i\sqrt{3} là một nghiệm của đa thức x^2+3\in\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2})[x]. Như vậy là [A:\mathbb{Q}]=12, bởi vậy |\text{Gal} (A/\mathbb{Q})|=12. Ngay lập tức ta có 12 phần tử của \text{Gal} (A/\mathbb{Q}) là \sqrt[6]{2}\mapsto \epsilon_6^k\sqrt[6]{2},\epsilon_6\mapsto\epsilon_6^j với k=0,1,2,3,4,5 và j=1,5(những số nguyên tố cùng nhau với 6).

b)Gọi B là trường phân rã của g trên \mathbb{Q}. Vì đặc số của \mathbb{Q} bằng 0 và g bất khả quy trong \mathbb{Q}[x](theo tiêu chuẩn Eisenstein với số nguyên tố p=3) nên g tách được trên \mathbb{Q}, do vậy mà B là một mở rộng Galois của \mathbb{Q}. Đầu bài yêu cầu ta tìm \text{Gal} (B/\mathbb{Q}) và [B:\mathbb{Q}]=|\text{Gal} (B/\mathbb{Q})|. Trong \mathbb{C} đa thức g có các nghiệm x_k=i\sqrt[6]{3}\left(\cos\dfrac{2\pi k}{6}+i\sin\dfrac{2\pi k}{6}\right) với k=0,1,2,3,4,5. Như thế B=\mathbb{Q}(i\sqrt[6]{3}) và [B:\mathbb{Q}]=|\text{Gal}(B/\mathbb{Q})|=6 do đa thức g chính là đa thức tối tiểu của i\sqrt[6]{3} trên \mathbb{Q}. Cũng thấy ngay rằng các phần tử của \text{Gal}(B/\mathbb{Q}) là i\sqrt[6]{3}\mapsto i\sqrt[6]{3}\epsilon_6^k với k=0,1,2,3,4,5 và \epsilon_6 là một căn nguyên thuỷ bậc 6 của đơn vị.

Problems in Section 2 of GTM 167

September 2, 2007 in [18++]Galois Theory | 4 comments

Please post carefully solutions of following problems:

1. Show that the only automorphism of \mathbb{Q} is the identity.

Read the rest of this entry »

Problems in Section 1 of GTM 167

August 31, 2007 in [18++]Galois Theory | 21 comments

Please post carefully solutions of the following ones:

1. Let K be a field extension of F. By defining scalar multiplication for \alpha\in F and a\in K by \alpha\cdot a=\alpha a, the multiplication in K, show that K is an F- vector space.

2. If K is a field extention of F, prove that [K:F]=1 iff K=F.

Read the rest of this entry »

What is GTM 167?

August 30, 2007 in [18++]Galois Theory | 7 comments

Chao cac ban,

Toi se khong noi lai vai tro cua ly thuyet truong va ly thuyet Galois. De hoc ly thuyet nay toi da chon cuon sach sau day

Field and Galois Theory (Graduate Texts in Mathematics) by Patrick Morandi

Trong khi doc cuon nay toi da gap phai van de la cac bai tap trong cuon nay kha kho, nhieu bai toi da co gang nhung giai khong ra, ma viec lam cac bai tap (cang nhieu cang tot) sau moi chuong la rat quan trong, no se giup toi nam vung ly thuyet hon.  Voi su dong tinh cua cac ban cua toi, toi quyet dinh lap box nay de chung ta cung nhau giai tat ca cac bai tap trong cuon sach do. Toi chac chan rang,  toi se hoc tot hon ly thuyet nay nho su giup do cua cac ban.  Xa hon nua, neu co the, chung toi se tap hop cac loi giai nay thanh mot file, no se la tai lieu huu ich cho cac ban hoc ly thuyet truong va ly thuyet Galois sau nay.

Ten cua box la GTM 167 vi cuon sach do nam trong chuoi Graduate Texts in Mathematics va no la cuon mang so 167.

Toi nghi rang box nay se co it nhat 23+5+2+4+4+2=40 topic ,ung voi 40 muc trong cuon sach do. Trong moi topic toi se post tat ca cac bai toan trong mot muc, sau do chung ta se cung nhau post loi giai cua cac bai toan do. Cac ban nen dung tieng Anh hoac tieng Viet khong dau khi post cac loi giai, va su dung \LaTeX trong cac post cua minh. Ve cach go cong thuc Toan cac ban co the vao trang About cua blog nay de xem qua, no thuc su rat don gian!

Neu co gi gop y,  xin hay post ngay trong topic nay.

Cam on cac ban.

Nguyen Trung Tuan.

 

November 2009
M T W T F S S
« Oct    
 1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
30  

Archives