Đường cong elliptic với phép nhân phức

Với mỗi đường cong elliptic , gọi là vành các dòng trên . Ta thấy là phép nhân bởi số nguyên là một dòng, trong nhiều trưòng hợp ta có . Đường cong elliptic được gọi là có phép nhân phức nếu nó có ít nhất một dòng trên nó khác phép nhân bởi một số nguyên nào đó. Đưòng cong với phép nhân phức có rất giàu tính chất, chẳng hạn, những đường cong loại này đã sớm được biết là chuỗi Hecker của nó có thể thác triển trên toàn mặt phẳng phức(sau này người ta thấy một lớp khác rộng hơn sau chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat). Tôi giới thiệu ở đây nguồn gốc của cái tên phép nhân phức, bạn nào thấy không đúng cứ  phản hồi nhé!

Các điểm phức của giống như là mặt Riemann với là một lưới phức, nó đẳng cấu với nhau theo cả nghĩa giải tích và đại số. Bởi thế mà mỗi dòng phức của sẽ tương ứng với một ánh xạ chỉnh hình từ mặt Riemann trên vào chính nó, ánh xạ này phải có dạng với là một số phức nào đó thoả mãn , ngược lại nếu thoả mãn điều kiện này thì nó sinh ra một ánh xạ chỉnh hình trên mặt Riemann tới chính nó và sẽ sinh ra một dòng phức trên . Gìơ thì ta thấy là  khi là số nguyên thì điều kiện cuối này sẽ thoả mãn, thêm nữa, khi số này tương ứng với dòng khác phép nhân bởi số nguyên của thì nó phải phức thật sự, nghĩa là số phức không phải là số thực. Do vậy mà có tên gọi trên.

Tôi lập mục này để tìm hiểu về phép nhân phức với các đa tạp Abel, đặc biệt là các đường cong elliptic. Chứng minh định lý cơ bản của phép nhân phức, tính nguyên của j-bất biến, thác triển của chuỗi Hecker, sinh các mở rộng Ablel bởi các điểm phức,…Tài liệu tham khảo sẽ là các bài viết của Serre, Silverman và Tate.