Category Archive

You are currently browsing the category archive for the '[18++]Complex Analysis' category.

Nguồn gốc của mặt Riemann

August 4, 2009 in [18++]Complex Analysis | Leave a comment

Không nghi ngờ gì rằng mặt Riemann là một trong các đối tượng quan trong nhất của Toán học, ta thấy là nó xuất hiện khắp nơi, trong Giải tích, Hình học và Lý thuyết số, nó sinh ra khi người ta xét các bài toán của Giải tích phức mà ở đó sinh ra hàm đa trị, kiểu như là một giá trị của biến lại có nhiều hơn một giá trị của hàm. Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một vài ví dụ để làm rõ điều này.

1, Các hàm đại số

Trong giải tích phức, hàm đa trị đầu tiên ta gặp phải là hàm $f(z)=\sqrt{z}$ (mỗi số phức khác $0$ có hai căn bậc hai khác nhau), đây chính là một trường hợp đặc biệt của hàm đại số , nghĩa là hàm $f$ mà các giá trị của nó là nghiệm của một đa thức có hệ số phân hình. Ta có kết quả tổng quát sau:

Gỉa sử $X$ là một mặt Riemann và $P(T)=T^n+c_1T^{n-1}+\cdots+c_n\in\mathcal{M}(X)[T]$ là một đa thức bất khả quy có bậc $n$ . Khi đó có mặt Riemann $Y$ , một ánh xạ phủ chỉnh hình rẽ nhánh $n-$ lá $\pi :Y\to X$ và một hàm phân hình $F\in\mathcal{M}(Y)$ sao cho $(\pi^*P)(F)=0$ . Bộ ba $(Y,\pi,F)$ là duy nhất theo nghĩa tự nhiên.

Trong định lý trên có rất nhiều khái niệm khó, bạn đọc muốn tìm hiểu chính xác thì hãy xem GTM81. Ở trên ta thấy rõ là mới đầu có một đa thức với hệ số phân hình bậc n, người ta muốn tìm một hàm là nghiệm của phương trình này, vì mỗi giá trị của biến sẽ có $n$ giá trị của $T$ theo định lý cơ bản của Đại số, nên vấn đề đa trị nảy sinh. Đó là lúc mặt Riemann $Y$ xuất hiện, và nó giải quyết chọn vẹn vấn đề này. Hình thức của $Y$ như là $n$ lá $X$ dán lại cùng nhau.

2, Thác triển giải tích

Khi thác triển giải tích dọc theo hai cung khác nhau có thể dẫn đến các kết quả khác nhau mặc dù hai cung có cùng điểm đầu và cuối. Mặt Riemann cũng tham gia vào giải quyết hoàn cảnh này. Bạn nào đọc bài này thì comment giúp cụ thể cái này thế nào nhé! Hôm nay mỏi quá rồi, tạm thế đã!

On the Concept of Genus in Topology and Complex Analysis, Friedrich E. P. Hirzebruch and Matthias Kreck

June 28, 2009 in [18++]Complex Analysis | Leave a comment

Thấy bài này hay trên Notices của AMS

genus

Solutions of the problems in the section 1 of GTM 81

March 10, 2009 in [18++]Complex Analysis | Leave a comment

Problem $1.1$ . (a) We have $\infty\not\in\emptyset$ and $\emptyset$ be open set in $\mathbb{R}^n$ hence $\emptyset$ be open set in $X$ , we have also that $X$ be open in $X$ because $\infty \in X$ and $X-X=\emptyset$ be compact set in $\mathbb{R}^n$ .
Assume that $U,V$ are open sets in $X$ , if $\infty\not\in U$ or $\infty\not\in V$ then $\infty\not\in U\cap V$ and $U\cap V$ is an open set in $\mathbb{R}^n$ therefore $U\cap V$ is open set in $X$ . If $\infty\in U$ and $\infty\in V$ then $U=\{\infty\}\cup U',V=\{\infty\}\cup V'$ , here $\infty\not\in U'\cup V'$ and $\mathbb{R}^n-U',\mathbb{R}^n-V'$ are compact sets in $\mathbb{R}^n$ . We have $X-(U\cap V)=\mathbb{R}^n-(U'\cap V')=(\mathbb{R}^n-U')\cup (\mathbb{R}^n-V')$ is compact set in $\mathbb{R}^n$ and $\infty\in U\cap V$ therefore $U\cap V$ be open set in $X$ .
Assume that $\{U_i\}_{i\in I}$ is a family of open sets in $X$ and $\infty\in U_i\forall i \in J,\infty\not\in U_i\forall i\in I-J$ for some $J\subseteq I$ (maybe empty). If $\infty\not\in\cup_{i\in I}U_i$ then $\cup_{i\in I}U_i$ be open in $\mathbb{R}^n$ , and so open in $X$ . If $\infty\in\cup_{i\in I}U_i$ then $X-\cup_{i\in I}U_i=[\cap_{i\in J}(\mathbb{R}^n-U_i)]\cap [\cap_{i\in I-J}(\mathbb{R}^n-(U_i-\{\infty\}))]$ is closed and bound in $\mathbb{R}^n$ , also it is compact set in $\mathbb{R}^n$ , therefore $\cup_{i\in I}U_i$ is open set in $X$ .
Thanks to all conditions above we have $X$ is a topological space.
Assume $x\not=y$ are elements in $X$ . If $\infty \not\in \{x,y\}$ then $x,y\in\mathbb{R}^n$ , note that because $\mathbb{R}^n$ is Hausdorff space we can find open sets $U_x,U_y$ in $\mathbb{R}^n$ such that $x\in U_x,y\in U_y$ and $U_x\cap U_y=\emptyset$ (Note: $U_x$ and $U_y$ are also open sets in $X$ ). If $\infty\in \{x,y\}$ , assume that $y=\infty$ , denote $U=S(x;1)=\{z\in\mathbb{R}^n|||z-x||<1\},\overline{U}=\{z\in\mathbb{R}^n|||z-x||\leq 1\}$ and $V=\{\infty \}\cup (\mathbb{R}^n-\overline{U})$ . Then $U,V$ are open sets in $X$ , $x\in U,y\in V$ and $U\cap V=\emptyset$ .
Compactness of $X$ is a immediately follows from (b).
(b)We have $\sigma$ be a surjective because $\sigma (0,\cdots,0,1)=\infty$ and $\sigma (x_1,x_2,\cdots,x_{n+1})=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\forall (y_i)\in\mathbb{R}^n$ , where $x_i=\dfrac{2y_i}{k+1}(i=\overline{1,n}),x_{n+1}=\dfrac{k-1}{k+1},k=\sum_{i=1}^ny_i^2$ . But it is easy to see that $\sigma$ is an injective(checking $\sigma (x)=\sigma (y)$ then $x=y$ ), therefore $\sigma$ is a bijective. By above formular, we have $\sigma$ is a homeomorphism.( $x_n\to x_0\Leftrightarrow \sigma (x_n)\to\sigma (x_0)$ in topology of $\mathbb{R}^n$ )

Problem $1.2$ . We have $D=\{z\in\mathbb{C}|cz+d\not =0\}$ is an open set in $\mathbb{C}$ and $f'(z)=\dfrac{ad-bc}{(cz+d)^2}\forall z\in D$ therefore $f$ is holomorphic on $D$ .
If $c=0$ then $ad\not=0$ we definition $f:\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$ by setting $f(\infty)=\infty$ .
If $c\not =0$ then we definition $f:\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$ by setting $f(\infty)=\dfrac{a}{c}$ and $f(-\dfrac{d}{c})=\infty$ .
In both cases we have $f$ is continuous over $\mathbb{P}^1$ and $f$ is a bijective, it is easy to find formular of $f^{-1}$ and check $f$ and $f^{-1}$ are holomorphic.

Problem $1.3$ .

Problem $1.4$ . The problem is wrong, an example $\omega_1=1,\omega_2=i$ and $\omega_1'=\sqrt{2}+i,\omega_2'=1+i\sqrt{2}$ and $A=\left(\begin{matrix}\sqrt{2}&1\\1&\sqrt{2}\end{matrix}\right)$ . Then $\left(\begin{matrix}\omega_1'\\ \omega_2'\end{matrix}\right)=A\left(\begin{matrix}\omega_1\\ \omega_2\end{matrix}\right)$ and $\omega_1'\not\in \Gamma$ . In my opinion, $A$ must is belong to $\text{SL}(2;\mathbb{Z})$ .
Problem $1.5$ . (a)Assume that $U$ is open in $\mathbb{C}/\Gamma'$ and $f$ is original map. We have $\pi^{-1}(f^{-1}(U))=\{y\in\mathbb{C}|\pi (y)\in f^{-1}(U)\}=\{y\in\mathbb{C}|\pi'(\alpha y)\in U\}$ and $\pi'^{-1}(U)$ is open in $\mathbb{C}$ therefore $\pi^{-1}(f^{-1}(U))$ is open in $\mathbb{C}$ , so $f^{-1}(U)$ is open in $\mathbb{C}/\Gamma$ , or $f$ is continuous.
If $\psi_1:U_1\to V_1$ and $\psi_2:U_2\to V_2$ are complex charts of $\mathbb{C}/\Gamma$ and $\mathbb{C}/\Gamma'$ , respectively, such that $f(U_1)\subset U_2$ . We have $\psi_2\cdot f\cdot \psi_1^{-1}(z)=\psi_2\cdot f ([z]_\Gamma ) =\psi_2 ([\alpha z]_{\Gamma'})=\alpha z\forall z\in V_1$ therefore $f$ is holomorphic.
If $f$ is biholomorphic then $f$ must is bijection and $\alpha \Gamma =\Gamma'$ . In fact, if $x\in \Gamma'-\alpha \Gamma$ then $f([\dfrac{1}{\alpha}x])=f([0])$ but $[\dfrac{1}{\alpha}x]\not =[0]$ , contradiction!
If $\alpha \Gamma =\Gamma'$ then $f$ is bijective and $\dfrac{1}{\alpha}\Gamma'\subseteq \Gamma$ therefore by above, $f$ and $f^{-1}$ are holomorphic.
(b)We have $\Gamma =\mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2=\omega_1(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot\dfrac{\pm\omega_2}{\omega_1})$ and use (a).
(c)Use (a) again!

M	T	W	T	F	S	S
« Oct
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

	Chứng minh định lý c… on Một chứng minh của “Định…
	trungtuan on Một chứng minh của “Định…
	Duy Khánh on Một chứng minh của “Định…
	trungtuan on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	trungtuan on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	thang3886 on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	trungtuan on Tính tương thích của hai dãy…
	Tun on Tính tương thích của hai dãy…
	trungtuan on Một số sách nên đọc đối với họ…
	99 on Một số sách nên đọc đối với họ…

Category Archive

Nguồn gốc của mặt Riemann

On the Concept of Genus in Topology and Complex Analysis, Friedrich E. P. Hirzebruch and Matthias Kreck

Solutions of the problems in the section 1 of GTM 81

What is GTM 81?

Lectures on Riemann Surfaces (Graduate Texts in Mathematics)

Categories

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Blogroll

Number Theory Web

Meta