[18++]Algebraic Geometry

Giả sử $f(x,y)$ là một đa thức hai biến với hệ số thực. Khi đó tập $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|f(x,y)=0\}(1)$ được gọi là một đường cong đại số thực, bậc của $f$ được gọi là bậc của đường cong đại số thực này.

Đường cong đại số thực bậc $1$ là đường thẳng, bậc $2$ là parabol, ellip, hyperbol; đây đều là các đối tượng quen biết trong chương trình toán phổ thông hiện nay. Nhưng với các đường cong đại số thực có bậc lớn hơn $2$ thì mọi chuyện không đơn giản như thế, có những bài toán không thể có lời giải đầy đủ bởi vì $\mathbb{R}$ không phải là trường đóng đại số. Chẳng hạn, ta muốn tìm số giao điểm của một đường thẳng $L$ và một đường cong đại số $C$ cho bởi $(1)$ . Thay đổi toạ độ nếu cần thiết, ta có thể giả sử $L$ đi qua gốc toạ độ, bởi thế mà phương trình tham số của nó là $x=\alpha t,y=\beta t\,\,(t\in\mathbb{R})(2)$ ở đây $\alpha$ và $\beta$ là các số thực không đồng thời bằng $0$ . Viết $f(x,y)$ dưới dạng $f(x,y)=f_n(x,y)+f_{n-1}(x,y)+\cdots +f_0,$ với các $f_k(x,y)$ là các đa thức thuần nhất có bậc $k$ . Thay $(2)$ vào $(1)$ ta có $f_n(\alpha,\beta)t^n+f_{n-1}(\alpha,\beta)t^{n-1}+\cdots+f_0=0. (3)$ Xác định số nghiệm thực của phương trình này không đơn giản, hơn nữa, chúng ta không thể hy vọng một kết quả đẹp đẽ vì số nghiệm thực của một đa thức với hệ số thực phụ thuộc vào các hệ số của đa thức đó. Nhưng khi ta xét $f(x,y)$ như một đa thức hai biến với hệ số phức và coi $(1)$ như một đường cong đại số trên $\mathbb{C}^2$ , thì số giao điểm của đường thẳng phức $(2)$ với đường cong đại số phức $(1)$ lại cho bởi phương trình $(3)$ . Theo định lý cơ bản của Đại số, phương trình $(3)$ có đúng $n$ nghiệm kể cả bội khi $f_n(\alpha,\beta)\not =0$ , và do đó đường cong đại số phức $C$ và đường thẳng phức $L$ cắt nhau tại $n$ điểm tính cả bội. Điều gì xảy ra nếu $f_n(\alpha,\beta)=0$ ? Giả sử $f_n(\alpha,\beta)=f_{n-1}(\alpha,\beta)=\cdots=f_{m+1}(\alpha,\beta)=0,f_m(\alpha,\beta)\not=0,$ khi đó $L$ và $C$ chỉ cắt nhau tại $m$ điểm trong $\mathbb{C}^2$ . Trong trường hợp này ta có thể xem $(n-m)$ giao điểm còn lại nằm tại vô hạn. Cụ thể là, thay $\dfrac{1}{s}$ vào $t$ trong $(3)$ ta có $f_n(\alpha,\beta)+f_{n-1}(\alpha,\beta)s+\cdots+f_0s^n=0.(4)$ Nếu $f_n(\alpha,\beta)\not =0$ thì $s=0$ (tương ứng với $t=\infty$ ) không phải là nghiệm của $(4)$ , nếu $f_n(\alpha,\beta)=f_{n-1}(\alpha,\beta)=\cdots=f_{m+1}(\alpha,\beta)=0,f_m(\alpha,\beta)\not=0$ thì $s=0$ (tương ứng với $t=\infty$ ) là nghiệm của $(4)$ với bội $(n-m)$ . Khi đó ta nói $L$ và $C$ cắt nhau tại điểm vô hạn với bội $(n-m)$ . Do vậy, để thuận lợi, ta sẽ bổ sung một đường thẳng tại vô hạn vào $\mathbb{C}^2$ , bằng cách này ta sẽ có mặt phẳng xạ ảnh phức $P^2\mathbb{C}$ . Cách thuận tiện nhất để bổ sung một đường thẳng tại vô hạn vào $\mathbb{C}^2$ là sử dụng toạ độ thuần nhất. Với một điểm $(x,y)\in\mathbb{C}^2$ , toạ độ thuần nhất của nó là mỗi bộ ba các số phức $(\zeta ,\xi ,\eta )$ thoả mãn $x=\dfrac{\xi}{\zeta},y=\dfrac{\eta}{\zeta}. (5)$ Nếu $(\zeta ,\xi ,\eta )$ là một toạ độ thuần nhất của $(x,y)$ thì $(\lambda\zeta ,\lambda\xi ,\lambda\eta )(\lambda\in\mathbb{C},\lambda\not =0)$ cũng là một toạ độ thuần nhất của $(x,y)$ . Muốn $(5)$ xác định thì $\zeta\not =0$ , nhưng nếu $\xi$ và $\eta$ không đồng thời bằng $0$ thì khi $\zeta\to 0$ các điểm $(x=\dfrac{\xi}{\zeta},y=\dfrac{\eta}{\zeta})$ sẽ tiến đến vô hạn theo hướng $\xi:\eta$ . Do đó ta có thể ký hiệu điểm tại vô hạn theo hướng $\xi:\eta$ bởi $(0,\xi,\eta)$ . Theo cách này, qua các toạ độ thuần nhất ta có thể bổ sung một điểm tại vô hạn theo mỗi hướng trong $\mathbb{C}^3$ , tập tất cả các điểm vô hạn như vậy được gọi là đường thẳng tại vô hạn, ký hiệu bởi $L_{\infty}$ . $\mathbb{C}^3$ cùng với $L_{\infty}$ được gọi là mặt phẳng xạ ảnh phức $P^2\mathbb{C}$ . Chính xác hơn, ta có thể xây dựng mặt phẳng xạ ảnh phức như sau, trong tập $\mathbb{C}^3-\{(0,0,0)\}$ ta đưa vào quan hệ $\thicksim$ được định nghĩa bởi $(\zeta,\xi,\eta)\thicksim (\zeta',\xi',\eta')$ khi và chỉ khi có số phức $\lambda\not =0$ thoả mãn $\zeta'=\lambda\zeta,\xi'=\lambda\xi,\eta'=\lambda\eta$ . Đây là một quan hệ tương đương, $\mathbb{C}^3-\{(0,0,0)\}$ được chia thành các lớp tương đương, lớp tương đương chứa $(\zeta,\xi,\eta)\in\mathbb{C}^3-\{(0,0,0)\}$ được ký hiệu bởi $[\zeta,\xi,\eta]$ . Dễ thấy $[\zeta,\xi,\eta]=[\lambda\zeta,\lambda\xi,\lambda\eta]\forall\lambda\in\mathbb{C}-\{0\}.$ Không gian thương sinh bởi quan hệ tương đương này được gọi là mặt phẳng xạ ảnh phức và được ký hiệu bởi $P^2\mathbb{C}$ , nó được trang bị tô pô thương và là một đa tạp phức. Giờ ta khảo sát biểu diễn theo toạ độ thuần nhất cúa đường cong $C$ cho bởi $(1)$ . Thay $x=\dfrac{\xi}{\zeta},y=\dfrac{\eta}{\zeta}$ vào $(1)$ , rút gọn ta được $F(\zeta,\xi,\eta)=f_n(\xi,\eta)+f_{n-1}(\xi,\eta)\zeta+\cdots+f_0\zeta^n=0.$ Vế trái của phương trình này là một đa thức thuần nhất theo các biến $\zeta,\xi,\eta$ . Trong trường hợp tổng quát, nếu $F(\zeta,\xi,\eta)$ là một đa thức thuần nhất theo các biến $\zeta,\xi,\eta$ thì $F(\zeta,\xi,\eta)=0(6)$ biểu diễn một đường cong đại số trong $P^2\mathbb{C}$ , và bậc của $F$ được gọi là bậc của đường cong này. Phương trình $(6)$ gọi là phương trình thuần nhất của đường cong đó. Nếu ta chỉ xét trên $\mathbb{C}^2=P^2\mathbb{C}-L_{\infty}$ thì đường cong này thoả mãn phương trình affine $f(x,y)=0 (7)$ ở đây $f(x,y)=F(1,x,y)$ . Theo cách này phương trình thuần nhất của đường cong xác định phương trình affine của nó trên $\mathbb{C}^2=P^2\mathbb{C}-L_{\infty}$ . Mặt khác, bậc của được cong(giả sử bằng $n$ ) và phương trình affine của nó trên $\mathbb{C}^2=P^2\mathbb{C}-L_{\infty}$ xác định duy nhất phương trình thuần nhất của nó $F(\zeta,\xi,\eta)=0$ , ở đây $F(\zeta,\xi,\eta)=\zeta^nf\left(\dfrac{\xi}{\zeta},\dfrac{\eta}{\zeta}\right)$ . Nếu một đường cong đại số $C$ cho bởi $F(\zeta,\xi,\eta)=0$ , và $F$ phân tích thành tích các đa thức thuần nhất bất khả quy $F=F_1^{m_1}\cdot F_2^{m_2}\cdot\cdots\cdot F_l^{m_l}$ thì ta viết $C=m_1C_1+m_2C_2+\cdots+m_lC_l$ , ở đây $C_j=\{(\zeta,\xi,\eta)\in P^2\mathbb{C}|F_j(\zeta,\xi,\eta)=0\}(j=1,2,\cdots,n)$ . Mỗi $C_j$ được gọi là một thành phần bất khả quy của $C$ . Đặc biệt khi chính $F$ là một đa thức bất khả quy thì $C$ được gọi là một đường cong bất khả quy.

—–

Bài này Lỗ lấy gần nguyên si từ sách “Mở đầu về đường cong đại số” của Griffiths.

Hồi mình mới học Hình học đại số gặp cái định lý này có phép chứng minh hay phết. Hôm nay chép lại nó từ Red book cho vui, tất cả các vành dưới đây đều giả sử là giao hoán và có đơn vị.

Định lý. Cho $R$ là một vành và $S\subset R$ là vành khác sao cho $R$ nguyên trên $S$ . Với tất cả các ideal nguyên tố $P$ của $S$ , tồn tại ideal nguyên tố $P'$ của $R$ sao cho $P'\cap S=P$ .

Chứng minh. Đặt $M=S-P$ . Bởi vì $P$ là ideal nguyên tố nên $M$ là tập nhân tính, ta có thể quan tâm đến các địa phương hoá của $R,S$ bởi $M$ , ký hiệu chúng là $R_M,S_M$ . Ta thấy là $S_M$ là một vành con của $R_M$ và $R_M$ là nguyên trên $S_M$ . Như thế chúng ta sẽ có biểu đồ sau

Nhờ vào biểu đồ này ta chỉ cần chứng minh định lý cho trường hợp $S$ là vành địa phương và $P$ là ideal cực đại của nó. Thật vậy, $S_M$ là vành địa phương với ideal cực đại(và do đó nguyên tố) $P_M=i(P)\cdot S_M$ và $P=i^{-1}(P_M)$ . Nếu $P^*$ là một ideal nguyên tố của $R_M$ sao cho $P^*\cap S_M=P_M$ (ideal này tồn tại vì ta đang giả sử định lý đúng với vành địa phương và ideal cực đại tương ứng), khi đó $j^{-1}(P^*)$ là một ideal nguyên tố của $R$ và $j^{-1}(P^*)\cap S=i^{-1}(P^*\cap S_M)=i^{-1}(P_M)=P$ .

Như vậy là lúc này ta sẽ làm việc với trường hợp $S$ là vành địa phương và $P$ là ideal cực đại của nó. Lúc đó $A\cap S\subset P$ với mỗi ideal $A$ của $R$ , từ đây, đương nhiên ta hy vọng rằng khi $A$ là ideal cực đại thì sẽ có dấu đẳng thức. Qủa vậy, lấy bất kỳ một ideal cực đại $P'$ của $R$ (ideal này tồn tại theo bổ đề Zorn), ta sẽ chứng minh $P'\cap S=P$ , khi đó định lý được chứng minh bởi một ideal cực đại sẽ là ideal nguyên tố. Xét biểu đồ sau

Vì $P'$ là cực đại nên $R/P'$ là một trường, suy ra $S/S\cap P'$ cũng là một trường (vì $R/P'$ là một trường và nguyên trên nó), bởi vậy $S\cap P'$ là một ideal cực đại của $S$ , nó phải là $P$ vì $S$ chỉ có một ideal cực đại mà thôi. Định lý được chứng minh.

M	T	W	T	F	S	S
« Oct
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

	Chứng minh định lý c… on Một chứng minh của “Định…
	trungtuan on Một chứng minh của “Định…
	Duy Khánh on Một chứng minh của “Định…
	trungtuan on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	trungtuan on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	thang3886 on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	trungtuan on Tính tương thích của hai dãy…
	Tun on Tính tương thích của hai dãy…
	trungtuan on Một số sách nên đọc đối với họ…
	99 on Một số sách nên đọc đối với họ…

Category Archive

Đường cong đại số trong mặt phẳng xạ ảnh phức

Định lý nâng của Cohen-Seidenberg

Problems in Chapter 1 of GTM 106

What is GTM 52?

Categories

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Blogroll

Number Theory Web

Meta