Category Archive

You are currently browsing the category archive for the '[18++]Abstract Algebra' category.

Tính tương thích của hai dãy khớp

October 8, 2009 in [18++]Abstract Algebra | 2 comments

Trong GTM4 có bổ đề sau đây

Ta thấy là nếu bỏ đi điều kiện giao hoán thì nó không đúng nữa? Bạn có thể đưa ra ví dụ không?

Một chứng minh của “Định lý cơ bản của Đại số”

September 15, 2009 in [18++]Abstract Algebra | 3 comments

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của Định lý cơ bản của Đại số, chứng minh này là sự phối hợp giữa lý thuyết nhóm và lý thuyết Galois. Giống như các chứng minh khác, nó cần một chút kiến thức về giải tích, trong trường hợp này là định lý giá trị trung gian của hàm liên tục, nó nói rằng một hàm số liên tục sẽ nhận mỗi giá trị giữa hai giá trị bất kỳ của nó. Một hệ quả của định lý giá trị trung gian là mỗi đa thức bậc lẻ với hệ số thực đều có ít nhất một nghiệm thực, hay chỉ có mở rộng bậc lẻ của trường các số thực là chính trường các số thực. Trong chứng minh chúng ta có dùng các kết quả sau đây

Bổ đề 1.-Không có mở rộng bậc $2$ của $\mathbb{C}$ .

(Đây cũng là một hệ quả của định lý cơ bản của Đại số).

Chứng minh. Ta chỉ việc chứng minh mỗi số phức $a$ đều có căn bậc hai phức. Viết $a$ dưới dạng luợng giác $a=re^{i\varphi }$ , theo định lý giá trị trung gian, số thực không âm $r$ có căn bậc hai thực, gọi nó là $\sqrt{r}$ , khi đó số phức $\sqrt{r}e^{i\varphi/2}$ là một căn bậc hai phức của $a$ .

Bổ đề 2.-Cho $p$ là một số nguyên tố, $G$ là một $p$ -nhóm và $H$ là một nhóm con cực đại của $G$ . Khi đó $H$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$ và $[G:H]=p$ .

Chứng minh. Quy nạp theo số mũ của $p$ trong $|G|$ , như chứng minh định lý Sylow.

Gìơ ta đi chứng minh định lý cơ bản của Đại số.

Định lý. $\mathbb{C}$ là đóng đại số.

Chứng minh. Gọi $Y$ là một mở rộng hữu hạn của $\mathbb{C}$ (do đó hữu hạn trên $\mathbb{R}$ ) và $X$ là bao đóng chuẩn tắc của $\mathbb{R}$ trong $Y$ . Định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra $X=\mathbb{C}$ . Thật vậy, mỗi $y\in Y$ ta có $y$ đại số trên $\mathbb{R}$ và tất cả các nghuiệm của $\min (y,\mathbb{R})$ phải nằm trong $X$ , và do đó trong $\mathbb{C}$ , hay $y\in\mathbb{C}$ . Vì $char (\mathbb{R})=0$ nên $X$ Galois trên $\mathbb{R}$ và do đó trên $\mathbb{C}$ . Ta có $Gal (X/\mathbb{R})=[X:\mathbb{R}]=2\cdot [X:\mathbb{C}]$ chia hết cho $2$ , gọi $Z$ là $2$ -nhóm con Sylow của $Gal (X/\mathbb{R})$ và $T$ là trường bất động của nó, khi đó mở rộng $T/\mathbb{R}$ có bậc lẻ, theo nhận xét lúc đầu, $T=\mathbb{R}$ , hay $Gal (X/\mathbb{R})$ là một $2$ -nhóm, do đó $Gal (X/\mathbb{C})$ cũng là $2$ -nhóm. Nếu $X\not =\mathbb{C}$ thì $Gal (X/\mathbb{C})$ có nhóm con cực đại $T$ , nhóm này có chỉ số hai trong $Gal (X/\mathbb{C})$ . Gọi $U$ là trường bất động của $T$ khi đó $U$ là một mở rộng bậc $2$ của $\mathbb{C}$ , vô lý.

Mô đun hữu hạn sinh trên miền chính

August 30, 2009 in [18++]Abstract Algebra | Leave a comment

Một miền nguyên được gọi là một miền chính nếu mọi ideal của nó đều là ideal chính, hai ví dụ quan trọng nhất về miền chính là $\mathbb{Z}$ và $F[x]$ với $F$ là một trường. Vì cấu trúc các ideal của một vành thể hiện trong cấu trúc các mô đun trên vành đó nên các mô đun trên vành chính có các tính chất đặc biệt. Bài này tôi sẽ giới thiệu định lý cấu trúc của các mô đun hữu hạn sinh trên một miền chính cùng hai áp dụng của nó vào các nhóm Abel hữu hạn sinh và dạng chuẩn tắc Jordan của một ma trận.

Định lý cơ bản. Cho $R$ là một miền chính và $M$ là một mô đun hữu hạn sinh trên $R$ . Khi đó $M$ đẳng cấu với tổng trực tiếp của hữu hạn các mô đun cyclic. Cụ thể hơn $M\backsimeq R^r\oplus R/(a_1)\oplus\cdots\oplus R/(a_m)$ với một số nguyên không âm $r$ và các phần tử khác không $a_1,\cdots,a_m$ của $R$ , chúng không phải các phần tử đơn vị của $R$ và thoả mãn quan hệ chia hết $a_1|a_2|\cdots |a_m$ .

Tôi sẽ không viết ra một chứng minh ở đây, ai quan tâm đến chứng minh của định lí này có thể tìm trong các giáo trình Đại số đại cương. Gìơ ta đi vào hai áp dụng của định lý này.

Vì $\mathbb{Z}$ là một miền chính và mỗi nhóm Abel cũng là một mô đun trên $\mathbb{Z}$ theo cách thông thường nên ta có kết quả sau như một hệ quả ngay lập tức của định lý cơ bản

Định lý cơ bản của nhóm Abel hữu hạn sinh. Cho $G$ là một nhóm Abel hữu hạn sinh. Khi đó $G\backsimeq \mathbb{Z}^r\times\mathbb{Z}_{n_1}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{n_s},$ với các số nguyên $r,n_1,\cdots,n_s$ thoả mãn các điều kiện sau

1) $r\geq 0$ và $n_i\geq 2\forall i\geq 1$ ;

2) $n_1|n_2|\cdots |n_s$ .

Nếu $r=0$ thì $G$ là hữu hạn và $(n_1,n_2,\cdots,n_s)$ sẽ được gọi là kiểu của $G$ .

Gìơ cho $V$ là không gian véc tơ có chiều bằng $n$ trên trường đóng đại số $F$ . Cố định một ma trận vuông $A$ cấp $n$ với phần tử trong $F$ và gọi $T$ là biến đổi tuyến tính của $V$ ứng với nó. Khi đó $V$ là một mô đun trên $F[x]$ theo cách: Với mỗi đa thức $h\in F[x]$ ta cho $h$ tác động vào $v\in V$ như biến đổi tuyến tính $h(T)$ tác động vào $v$ . Theo định lí cơ bản ta có $V$ là tổng trực tiếp của các $F[x]$ -mô đun có dạng $F[x]/(x-\lambda)^k$ vì $V$ hữu hạn chiều trên $F$ và các đa thức bất khả quy mô nic trên trường đóng đại số chỉ là các đa thức có dạng $x-\lambda$ . Gọi $\bar{x}$ là ảnh của $x$ trong $F[x]/(x-\lambda)^k$ thì $1,\bar{x}-\lambda,\cdots, (\bar{x}-\lambda)^{k-1}$ là một cơ sở của $F$ -không gian véc tơ $F[x]/(x-\lambda)^k$ , ma trận của $T$ trong cơ sở này cũng là ma trận của biến đổi tuyến tính xác định bởi phép nhân bởi $x$ và nó là một khối Jordan với đường chéo chính toàn là $\lambda$ . Như vậy ta có

Định lý về dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận. Cho $A$ là một ma trận vuông trên một trường đóng đại số. Khi đó $A$ sẽ đồng dạng với một ma trận đường chéo khối, trong đó mỗi khối là một khối Jordan.

M	T	W	T	F	S	S
« Nov
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

	Hello everyone … on AMM 2008, đề bài và lời giải c…
	trungtuan on Dinh li Stolz-Cesaro va ap…
	MM on Dinh li Stolz-Cesaro va ap…
	Chứng minh định lý c… on Một chứng minh của “Định…
	trungtuan on Một chứng minh của “Định…
	Duy Khánh on Một chứng minh của “Định…
	trungtuan on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	trungtuan on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	thang3886 on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	trungtuan on Tính tương thích của hai dãy…

Category Archive

Tính tương thích của hai dãy khớp

Một chứng minh của “Định lý cơ bản của Đại số”

Mô đun hữu hạn sinh trên miền chính

Categories

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Blogroll

Number Theory Web

Meta