Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan

Posted on 01/05/2010 by Sharing

Rõ ràng là trong chương trình Toán THCS phương trình bậc hai là một phần kiến thức trọng tâm, vì thế mà nó xuất hiện hầu khắp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong chuyên đề này tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai(điều kiện có nghiệm, định lý Viét và các áp dụng) và một số bài toán liên quan(hệ bậc hai,…).

Phương trình bậc hai một ẩn số là một phương trình có dạng

$ax^2+bx+c=0$ , với $a,b$ và $c$ là các số thực thoả mãn $a\not =0$ .

$\clubsuit$ Cho ví dụ về các phương trình bậc hai đủ, thiếu.

$\boxed{1}$ . Số nghiệm của phương trình bậc hai

$\clubsuit$ Đặt $\Delta=b^2-4ac$ . Một phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm khi và chỉ khi $\Delta\geq 0$ , có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi $\Delta>0$ và có $0$ nghiệm khi và chỉ khi $\Delta<0$ . Khi làm các bài toán dạng này các bạn nhớ phải quan tâm đến hệ số của $x^2$ sau đó mới tính $\Delta$ trong trường hợp hệ số này khác $0$ .

Bài 1.1. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực đôi một khác nhau $a,b,c$ phương trình

$\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}+\dfrac{1}{x-c}=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Bài 1.2. Chứng minh rằng phương trình

$c^2x^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^2=0$ vô nghiệm với $a,b$ và $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 1.3. Chứng minh rằng với mỗi $a,b,c\in\mathbb{R}$ một trong ba phương trình sau phải có nghiệm $ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0$ và $cx^2+2ax+b=0.$

Bài 1.4. Cho $a,b$ là các số thực không đồng thời bằng $0$ . Chứng minh rằng phương trình $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{x-1}=1$ có nghiệm.

Bài 1.5. Cho $a,b,c$ là các số thực thoả mãn $5a+4b+6c=0$ . Chứng minh rằng phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm.

Bài 1.6. Cho $a,b,c$ là các số thực thoả mãn $a(a+2b+4c)<0$ . Chứng minh rằng phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm.

Bài 1.7. Cho $a,b,c$ là các số thực thoả mãn $a+b+c=6$ . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm $x^2+ax+1=0,x^2+bx+1=0$ và $x^2+cx+1=0$ .

Bài 1.8. Cho $a,b,c$ là ba số dương đôi một khác nhau có tổng bằng $12$ . Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm $x^2+ax+b=0,x^2+bx+c=0$ và $x^2+cx+a=0$ .

Bài 1.9. Chứng minh rằng nếu $a,b$ là các số thực thoả mãn $|a|+|b|>2$ thì phương trình sau có nghiệm $2ax^2+bx+1-a=0$ .

Bài 1.10. Chứng minh rằng với mỗi $a,b,c\in\mathbb{R}$ phương trình sau luôn có nghiệm $a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0.$

Bài 1.11. Chứng minh rằng nếu các phương trình bậc hai $x^2+ax+b=0$ và $x^2+cx+d=0$ có các hệ số thoả mãn $ac\geq 2(b+d)$ thì ít nhất một trong hai phương trình đó có nghiệm.

$\boxed{2}$ . Giải phương trình bậc hai có tham số

$\clubsuit$ Đừng có tính $\Delta$ của một phương trình chưa hẳn là bậc hai! Hệ số của $x^2$ có thể bằng $0$ .

Bài 2.1. Giải và biện luận phương trình $(m-1)x^2+m^2-3m+2=0.$

Bài 2.2. Giải và biện luận phương trình $(m-3)x^2-2mx+m-6=0.$

Bài 2.3. Giải và biện luận phương trình $\dfrac{m-1}{mx-1}+\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{m+5}{(1-mx)(x^2-1)}.$

$\clubsuit$ Phải xét $m=0$ trước thì mới đặt điều kiện được và giải xong nhớ kiểm tra điều kiện.

$\boxed{3}$ . Một số phương trình quy về bậc hai

Trong mục này ta sẽ xét các phương trình được giải sau khi chuyển về phương trình bậc hai nhờ một phép đặt ẩn phụ.

$\clubsuit$ Bạn cần phải nhớ cách giải các phương trình có dạng đặc biệt sau đây

a)Phương trình trùng phương $ax^4+bx^2+c=0(a\not=0)$ .

b)Phương trình đối xứng gương $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0(a\not=0)$ .

c)Phương trình dạng $(x+a)^4+(x+b)^4=c$ .

d)Phương trình dạng $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e$ với $a+c=b+d$ .

e)Phương trình dạng $\dfrac{mx}{ax^2+bx+d}+\dfrac{nx}{ax^2+cx+d}=p(p\not=0).$

Đương nhiên là còn có các dạng phương trình khác nhưng cách giải của chúng cũng gần như một trong năm dạng trên.

Bài 3.1. Giải các phương trình

a) $2x^4+3x^3-16x^2+3x+2=0.$

b) $(x+3)^4+(x+5)^4=16$ .

c) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24$ .

d) $x^4-17x^2+16=0$ .

e) $\dfrac{4x}{4x^2-8x+7}+\dfrac{3x}{4x^2-10x+7}=1$ .

Bài 3.2. Giải các phương trình

a) $(x+4)(x+6)(x-2)(x-12)=25x^2$ .

b) $\dfrac{x^2-10x+15}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}$ .

c) $\dfrac{x^2-3x+5}{x^2-4x+5}-\dfrac{x^2-5x+5}{x^2-6x+5}=-\dfrac{1}{4}$ .

Bài 3.3. Giải các phương trình

a) $20\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)^2-5\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^2+48\left(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0$ .

b) $\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^2+\left(\dfrac{x-2}{x-1}\right)^2-\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0$ .

Bài 3.4. Giải các phương trình

a) $(x+5)(2x+12)(2x+20)(x+12)=3x^2$ .

b) $(4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1)=4$ .

Bài 3.5. Cho phương trình $x^4+2(m-2)x^2+m^2-5m+5=0.$ Tìm $m$ để phương trình có

a) $4$ nghiệm phân biệt.

b) $3$ nghiệm phân biệt.

c) $2$ nghiệm phân biệt.

d) $1$ nghiệm.

e) $0$ nghiệm.

Bài 3.6. Giải các phương trình

a) $x\left(\dfrac{3-x}{x+1}\right)\left(x+\dfrac{3-x}{x+1}\right)=2$ .

b) $x\left(\dfrac{8-x}{x-1}\right)\left(x-\dfrac{8-x}{x-1}\right)=15$ .

c) $x^2+\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2=1.$

Bài 3.7. Giải các phương trình

a) $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+5}+\dfrac{1}{x+7}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x+6}$ ;

b) $\dfrac{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}=\dfrac{19}{49}$ .

$\boxed{4}$ . Định lý Viét và các áp dụng

$\clubsuit$ Định lý Viét. Nếu phương trình bậc hai nói trên có các nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì ta có $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ và $x_1x_2=\dfrac{c}{a}.$

$\boxed{4.1}$ . Nhẩm nghiệm

$\clubsuit$ Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình có các nghiệm $x_1=1,x_2=\dfrac{c}{a}$ . Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình có các nghiệm $x_1=-1,x_2=-\dfrac{c}{a}$ .

Bài 4.1.1. Giải các phương trình

a) $2x^2+199x-201=0$ ;

b) $17x^2+335x+318=0$ .

Bài 4.1.2. Giải các phương trình

a) $x^2+(3m-5)x-3m+4=0$ ;

b) $3x^2-(m-2)x-m-1=0$ ;

c) $(m-2)x^2+(m-3)x-2m+5=0$ ;

d) $(m-3)x^2-(m+1)x-2m+2=0$ .

$\boxed{4.2}$ . Xét dấu các nghiệm

$\clubsuit$ Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $P<0$ , phương trình có hai nghiệm âm khi và chỉ khi $\Delta\geq 0,P>0$ và $S<0$ , phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $\Delta\geq 0,P>0$ và $S>0$ .

Bài 4.2.1. Tìm giá trị của $m$ để phương trình sau có nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

a) $x^2-2mx+5m-4=0$ ;

b) $mx^2+mx+3=0$ .

Bài 4.2.2. Tìm $m$ để phương trình $(m+1)x^2+2(m+4)x+m+1=0$ có

a)Một nghiệm;

b)Hai nghiệm cùng dấu phân biệt;

c)Hai nghiệm âm phân biệt.

Bài 4.2.3. Tìm $m$ để phương trình $(m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0$ có

a)Hai nghiệm cùng dấu;

b)Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;

c)Đúng một nghiệm dương.

Bài 4.2.4. Tìm $m$ để phương trình $mx^2-2(m-3)x+m-4=0$ có đúng một nghiệm không dương.

Bài 4.2.5. Tìm $m$ để phương trình $(m+1)x^2-2x+m-1=0$ có ít nhất một nghiệm không âm.

Bài 4.2.6. Cho biểu thức $A=\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right).$

Tìm $m$ để có $x$ thoả mãn $A(\sqrt{x}+1)=m(x+1)-2.$

Bài 4.2.7. Tìm $m$ để có $x<0$ sao cho $m=\dfrac{x(1-x^2)^2}{1+x^2}:\left[\left(\dfrac{1-x^3}{1-x}+x\right)\left(\dfrac{1+x^3}{1+x}-x\right)\right].$

Bài 4.2.8. Tìm $m$ để có $x$ sao cho

$m=\sqrt{x}-\dfrac{\sqrt{4x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}.$

$\boxed{4.3}$ . Tính giá trị của một biểu thức đối xứng của các nghiệm

$\clubsuit$ Để tính giá trị của biểu thức $F(x_1,x_2)$ với $F$ đối xứng, ta chuyển $F$ về biểu thức chỉ có hai biến $S=x_1+x_2$ và $P=x_1x_2$ .

Bài 4.3.1. Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^2-3x-7=0$ . Tính $A=x_1^2+x_2^2,B=|x_1-x_2|,C=\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1},D=(3x_1+x_2)(3x_2+x_1).$ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}$ .

Bài 4.3.2. Không giải phương trình hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nhỏ của phương trình bậc hai $x^2-\dfrac{\sqrt{85}}{4}x+1\dfrac{5}{16}=0.$

Bài 4.3.3. Giả sử $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2+ax+1=0$ và $x_3,x_4$ là nghiệm của phương trình $x^2+bx+1=0$ . Tính giá trị của biểu thức $M=(x_1-x_3)(x_2-x_3)(x_1+x_4)(x_2+x_4)$ theo $a,b$ .

Bài 4.3.4. Gỉa sử $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^2-ax+1=0$ . Tính $S=x_1^7+x_2^7$ theo $a$ và tìm một đa thức bậc $7$ có hệ số nguyên nhận $\alpha=\sqrt[7]{3/5}+\sqrt[7]{5/3}$ làm nghiệm.

Bài 4.3.5. Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $5x^2-3x-1=0$ . Tính giá trị các biểu thức sau

$A=2x_1^3-3x_1^2x_2+2x_2^3-3x_1x_2^2$ ;

$B=\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_1}{x_2+1}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_2}{x_1+1}-\left(\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}\right)^2$ ;

$C=\dfrac{3x_1^2+5x_1x_2+3x_2^2}{4x_1x_2^3+4x_1^3x_2}$ .

Bài 4.3.6. Cho các phương trình $x^2+ax+1=0,x^2+bx+1=0$ và $x^2+cx+1=0$ . Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. Chứng minh rằng

$a^2+b^2+c^2+abc=4.$

Bài 4.3.7. Gỉa sử phương trình $x^2+ax+b+1=0$ có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng $a^2+b^2$ là một hợp số.

Bài 4.3.8. Cho phương trình $2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3=0$ . Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=|x_1x_2-2x_1-2x_2|$ .

Bài 4.3.9. Cho phương trình $2x^2+2(m+2)x+m^2+4m+3=0$ . Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng $|x_1+x_2+3x_1x_2|\leq \left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2.$

$\boxed{4.4}$ . Dãy $S_n=x_1^n+x_2^n$

$\clubsuit$ Nhớ là ta có công thức truy hồi liên hệ ba số hạng liên tiếp của dãy trên.

Bài 4.4.1. Cho $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^2-mx+1=0$ với $m>3$ là một số nguyên. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ , số $S_n$ là một số nguyên không chia hết cho $m-1$ .

Bài 4.4.2. Chứng minh rằng nếu các số thực $x,y,a,b$ thoả mãn $x+y=a+b$ và $x^4+y^4=a^4+b^4$ thì chúng cũng thoả mãn $x^n+y^n=a^n+b^n$ với mỗi số nguyên dương $n$ .

Bài 4.4.3. Cho $m$ là một số nguyên dương và $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^2-mx+1=0.$

a)Chứng minh rằng $x_1^5+x_2^5$ là một số nguyên;

b)Tìm $m$ bé nhất để $x_1^5+x_2^5$ là bội của $25$ .

Bài 4.4.4. Cho $p$ là một số nguyên lẻ và phương trình $x^2+px-1=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ . Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên dương thì $x_1^n+x_2^n$ và $x_1^{n+1}+x_2^{n+1}$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 4.4.5. Tìm số dư khi chia $[(2+\sqrt{3})^{2010}]$ cho $3$ .

Bài 4.4.6. Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^2-6x+1=0$ . Kí hiệu $S_n=x_1^n+x_2^n$ với $n$ là số nguyên dương.

a)Tính $S_1,S_2,S_3$ ;

b)Tìm một hệ thức liên hệ $S_n,S_{n+1},S_{n+2}$ với $n$ là số nguyên dương bất kì. Từ đây hãy tính $S_4,S_5,S_6,S_7$ ;

c)Chứng minh rằng $S_n$ là số nguyên dương với mỗi $n$ nguyên dương;

d)Tìm số dư khi chia $S_{50}$ cho $5$ .

Bài 4.4.7. Cho $a=5+2\sqrt{6}$ và $b=5-2\sqrt{6}$ .

a)Chứng minh rằng $a^2=10a-1,b^2=10b-1$ ;

b)Đặt $S_n=a^n+b^n$ . Chứng minh rằng $s_0,s_4,s_8,\cdots$ là các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là $2$ ;

c)Tìm chữ số hàng đơn vị của $[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{48}]$ .

Bài 4.4.8. Tìm chữ số cuối cùng của $[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{250}].$

$\boxed{4.5}$ . Tìm hai số biết tổng và tích

$\clubsuit$ $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$ với $S=x_1+x_2,P=x_1x_2$ .

Bài 4.5.1 Tìm hai số biết rằng

a)Tổng bằng $2$ , tích bằng $-1$ ;

b)Tổng bằng $1$ , tích bằng $5$ .

$\boxed{4.6}$ . Hệ phương trình đối xứng kiểu 1

$\clubsuit$ Hệ đối xứng kiểu 1 là hệ có dạng $P(x,y)=0,Q(x,y)=0$ với $P$ và $Q$ là các biểu thức đối xứng của $x$ và $y$ . Để giải hệ này ta dùng phép đặt $x+y=S$ và $xy=P$ .

Bài 4.6.1. Giải các hệ phương trình

a) $x^2+xy+y^2=4,x+xy+y=2$ ;

b) $x+y+xy=5,x^2+y^2=5$ ;

c) $x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30,x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35$ ;

d) $x+y+xy=\dfrac{7}{2},xy(x+y)=\dfrac{5}{2}$ ;

e) $x^3+y^3=8,x+y+2xy=2$ .

Bài 4.6.2. Giải các hệ phương trình

a) $x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5,x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=9$ ;

b) $x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=4,x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=4$ ;

c) $(x+1)^2(y+1)^2=27xy,(x^2+1)(y^2+1)=10xy$ .

Bài 4.6.3. Giải các hệ phương trình

a) $(x+y)(1+1/xy)=5,(x^2+y^2)(1+1/x^2y^2)=49$ ;

b) $x+y+xy=11,\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}+xy=11$ ;

c) $x+y+z=1,2x+2y-2xy+z^2=1$ .

Bài 4.6.4. Giải các hệ phương trình

a) $\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=4,x^2+y^2=128$ ;

b) $(x^2+x+1)+(y^2+y+1)=3,(1-x)(1-y)=6$ .

Bài 4.6.5. Giải các hệ phương trình

a) $\sqrt{x}+\sqrt{y}=5,\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}=8$ ;

b) $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{5}{6}\sqrt{xy},x+y=13$ ;

c) $x+y+\sqrt{xy}=14,x^2+y^2+xy=84$ ;

d) $\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2},\sqrt{x}+\sqrt{y}=4$ ;

e) $2(x+y)=3(\sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2}),\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=6$ .

$\boxed{4.7}$ . Tìm tham số để $F(x_1,x_2)=0(>0,<0)$

$\clubsuit$ Nếu $F$ đối xứng thì ta chuyển về $S,P$ , nếu trái lại ta có hai cách để làm. Chuyển về giải hệ $x_1+x_2=S,F(x_1,x_2)=0$ sau đó thay vào $x_1x_2=P$ . Hoặc có thể dùng phương pháp đối xứng hoá, chuyển về trường hợp $F$ đối xứng. Cả hai cách làm đều phải chú ý đến điều kiện có nghiệm của phương trình.

Bài 4.7.1 Tìm $m$ để phương trình $x^2+mx+1=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $\dfrac{x_1^2}{x_2^2}+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}>7.$

Bài 4.7.2. Xác định $m$ để các nghiệm $x_1,x_2$ của phương trình

$mx^2-2(m+1)x+m-4=0$ thoả mãn $x_1+4x_2=3$ .

Bài 4.7.3. Tìm $m$ để phương trình $mx^2-2(m-2)x+m-3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $x_1^2+x_2^2=1$ .

Bài 4.7.4. Tìm $m$ để phương trình $x^2-2(m-2)x+m^2+2m-3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{5}$ .

Bài 4.7.5. Cho phương trình $x^2+mx+n=0$ có $3m^2=16n$ . Chứng minh rằng trong hai nghiệm của phương trình, có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.

$\boxed{4.8}$ . Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

$\clubsuit$ $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$ với $S=x_1+x_2,P=x_1x_2$ .

Bài 4.8.1. Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỷ có một nghiệm là $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ .

Bài 4.8.2. Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^2-7x+3=0$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là $2x_1-x_2$ và $2x_2-x_1$ . Tính $|2x_1-x_2|+|2x_2-x_1|$ .

Bài 4.8.3. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $4x_1x_2-5(x_1+x_2)+4=0$ và $(x_1-1)(x_2-1)=\dfrac{1}{m+1}(m\not=-1)$ .

Bài 4.8.4. Gọi $a,b$ là các nghiệm của phương trình $x^2+5x-8=0$ . Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là $\dfrac{a}{b+1}$ và $\dfrac{b}{a+1}$ .

Bài 4.8.5. Tìm các số $p,q\in\mathbb{Z}$ sao cho phương trình $x^2+px+q=0$ có nghiệm nguyên và $p+q=1992$ .

$\boxed{4.9}$ . Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm

$\clubsuit$ Phương pháp chung để giải bài toán dạng này là khử $m$ từ hệ $x_1+x_2=S,x_1x_2=P$ .

Bài 4.9.1. Cho phương trình $x^2-mx+2m-3=0$ . Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc $m$ .

Bài 4.9.2. Cho phương trình $8x^2-4(m-2)x+m(m-4)=0$ . Xác định $m$ để phương trình có nghiệm, gọi các nghiệm là $x_1,x_2$ . Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc $m$ .

Bài 4.9.3. Cho phương trình bậc hai $(m-2)x^2-2(m+2)x+2(m-1)=0$ . Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc $m$ .

Bài 4.9.4. Cho phương trình bậc hai $(m-1)^2x^2-(m-1)(m+2)x+m=0$ . Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc $m$ .

$\boxed{5}$ . Nghiệm của hai phương trình bậc hai

$\clubsuit$ Trong mục này chúng ta sẽ quan tâm đến các bài toán yêu cầu tìm tham số để hai phương trình có nghiệm chung(giao các tập nghiệm khác rỗng) hay hai phương trình tương đương(tập nghiệm của hai phương trình bằng nhau),…

Bài 5.1. Tìm các số thực $a,b,c$ sao cho $ac\not=0$ và hai phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ và $cx^2+bx+a=0$ có nghiệm chung duy nhất.

Đáp số. $ac\not=0$ và $|b|=|a+c|$ . $\Box$

Bài 5.2. Tìm $m$ để hai phương trình sau có nghiệm chung $2x^2-(3m+2)x+12=0$ và $4x^2-(9m-2)x+36=0$ .

Đáp số. $m=3$ . $\Box$

Bài 5.3. Tìm $m$ để hai phương trình sau có nghiệm chung $2x^2+(3m+1)x-9=0$ và $6x^2+(7m-1)x-19=0$ .

Đáp số. $m=2$ và $m=\dfrac{2}{3}$ . $\Box$

Bài 5.4. Tìm $m$ để hai phương trình $2x^2+mx-1=0$ và $mx^2-x+2=0$ có nghiệm chung.

Đáp số. $m=-1$ . $\Box$

Bài 5.5. Xác định $m$ để hai phương trình $x^2-mx+2m+1=0$ và $mx^2-(2m+1)x-1=0$ có nghiệm chung.

Đáp số. $m=-2$ . $\Box$

Bài 5.6. Xác định $m$ để phương trình $x^2-2mx+4m=0$ có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phương trình $x^2-mx+10m=0$ .

Đáp số. $m=0$ và $m=-\dfrac{1}{2}$ . $\Box$

Bài 5.7. Cho hai phương trình $x^2+x+a=0$ và $x^2+ax+1=0$ .

a)Tìm $a$ để hai phương trình có nghiệm chung.

b)Tìm $a$ để hai phương trình tương đương.

Đáp số. $a=-2$ và $\dfrac{1}{4}<a<2$ . $\Box$

Bài 5.8. Tìm $a$ để hai phương trình $ax^2+x+1=0$ và $x^2+ax+1=0$ có nghiệm chung.

Đáp số. $a=-2$ . $\Box$

Bài 5.9. Cho hai phương trình $x^2+ax+1=0$ và $x^2+bx+2=0$ . Tìm $a,b$ để hai phương trình có nghiệm chung và $|a|+|b|$ bé nhất.

Hướng dẫn. Điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung là $2a^2-3ab+b^2+1=0.$ Từ đây suy ra $a,b$ cùng dấu, hay $|a|+|b|=|a+b|$ . Đặt $a+b=m$ rồi tìm $m$ để hệ $a+b=m,2a^2-3ab+b^2+1=0$ có nghiệm. Đáp số là $\left(\pm\dfrac{5\sqrt{6}}{6};\pm\dfrac{7\sqrt{6}}{6}\right)$ . $\Box$

Bài 5.10. Cho hai phương trình $x^2+ax+6=0$ và $x^2+bx+12=0$ . Tìm $a,b$ để hai phương trình có nghiệm chung và $|a|+|b|$ bé nhất.

Đáp số. $(\pm 5,\pm 7)$ . $\Box$

$\boxed{6}$ . Phương trình bậc hai trên $\mathbb{Z}$

$\clubsuit$ Điều kiện cần để phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỷ là $\Delta$ của nó phải là một bình phương đúng.

Bài 6.1. Tìm tất cả các số nguyên $a$ để phương trình $x^2-2ax-a-3=0$

có nghiệm nguyên.

Bài 6.2. Với giá trị nguyên nào của $k$ thì phương trình $kx^2+(2k-1)x+k-2=0$ có các nghiệm là các số hữu tỷ.

Bài 6.3. Gỉa sử $p=\overline{abc}$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình $ax^2+bx+c=0$ không thể có nghiệm hữu tỷ.

Lời giải. Dùng phương pháp hiệu bình phương của Fermat. $\Box$

Bài 6.4. Chứng minh rằng nếu $a,b\in\mathbb{Z}$ và phương trình $x^2+ax+b=0$ có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó phải là số nguyên.

Bài 6.5. Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số nguyên lẻ thì phương trình $ax^2+bx+c=0$ không thể có nghiệm hữu tỷ.

Lời giải. $\Delta\equiv 5\pmod{8}$ . $\Box$

$\boxed{7}$ . Giao điểm của đường thẳng và Parabol

$\clubsuit$ Cho đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=mx+n$ và parabol $(P)$ có phương trình $y=ax^2(a\not=0)$ . Khi đó số giao điểm của $(d)$ và $(P)$ đúng bằng số nghiệm khác nhau của phương trình $ax^2=mx+n$ , và hoành độ của giao điểm chính là nghiệm của phương trình này.

Bài 7.1. Cho $(P):y=\dfrac{1}{2}x^2$ và $(d):y=\dfrac{1}{2}x+3$ .

a)Xác định toạ độ các giao điểm $A,B$ của $(d)$ và $(P)$ ;

b)Tìm $P$ thuộc cung $AB$ của $(P)$ để diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất.

Bài 7.2. Cho $(P):y=\dfrac{1}{2}x^2$ và $(d):y=mx+n$ . Tìm $m,n$ để $(d)$ đi qua $A(1;0)$ và tiếp xúc với $(P)$ . Tìm toạ độ tiếp điểm.

Bài 7.3. Cho $(P):y=x^2$ . Tìm $A\in (P)$ để tiếp tuyến tại $A$ của $(P)$ song song với đường thẳng $(d):y=4x+5$ .

Bài 7.4. Cho $(P):y=x^2$ và hai điểm $A,B\in (P)$ có hoành độ bằng $-1$ và $2$ tương ứng. Tìm $M$ trên cung $AB$ của $(P)$ sao cho tam giác $AMB$ có diện tích lớn nhất.

Bài 7.5. Cho $(P):y=x^2$ . Chứng minh rằng với mỗi $M\in (d):y=-1/4$ , các tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến $(P)$ vuông góc với nhau.

Bài 7.6. Cho $(P):y=x^2$ . Tìm $m$ để $(d):y=mx+2$ cắt $(P)$ theo một dây cung có độ dài bé nhất.

Bài 7.7. Cho $(P):y=\dfrac{1}{4}x^2$ .

a)Viết phương trình $AB$ nếu $A,B\in (P)$ và $x_A=-2,x_B=4$ ;

b)Xác định $M\in (P)$ nếu đường thẳng tiếp xúc với $M$ tại $(P)$ song song với $AB$ .

Bài 7.8. Cho đường thẳng có phương trình $(d):2(m-1)x+(m-2)y=2$ . Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ , khi đó tìm toạ độ trung điểm của $AB$ .

Bài 7.9. Chứng minh rằng với mỗi $m$ , đường thẳng $(d):y=mx+1$ cắt $(P):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt. Gọi hai điểm nói trên là $A,B$ , tìm $m$ để diện tích của tam giác $OAB$ bằng $3$ .

Bài 7.10. Tìm $m$ để $(d):y=mx+4$ tiếp xúc với $(P):y=mx^2$ tại điểm có hoành độ bằng $-2$ .

—–

Nguồn http://hoaxung.wordpress.com/2010/04/30/q-1/

This entry was posted in Bài viết từ nơi khác, Chuyên đề ôn thi vào lớp 10, Chuyên đề ôn thi Đại học, Chuyên đề nâng cao, Lớp Toán khoá 2010-2013, Toán phổ thông and tagged bậc hai, hữu tỷ, nguyên, phương trình, Viét, đối xứng. Bookmark the permalink.

14 Responses to Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan

tdq95 says:

02/11/2010 lúc 9:31 chiều

thầy ơi hình như cái latex trong bài này bị lỗi hay sao ấy. Khó xem quá.

Trả lời
Sharing says:

02/11/2010 lúc 10:21 chiều

Em duyệt web bằng FF đi. Mà xem cái này làm gì? Lúc ôn thi Đại học đằng nào thầy chẳng dạy lại? Hay dạy cho cô bé nào lớp 9 à?

Trả lời
- tdq95 says:
  
  03/11/2010 lúc 5:41 sáng
  
  Ài làm gì có thầy ơi. Tại em thấy bài mới nên vào xem thôi
  
  Trả lời
  - nvh95 says:
    
    03/11/2010 lúc 7:57 chiều
    
    01/05/2010
    Cũng mới. Mới có nửa năm thôi.
    Nó dạy cho cô bé nào đấy thầy ạ! )
thanh says:

28/11/2010 lúc 11:02 chiều

2 phương trình bậc 2 có nghiệm chung thì giải như thế nào ạ

Trả lời
thanh says:

28/11/2010 lúc 11:04 chiều

ví dụ cái bài x^2+x+a=0 và x^2+ax+1=0 có nghiệm chung khi nào thì giải kỉu gì ạ

Trả lời
Sharing says:

28/11/2010 lúc 11:34 chiều

Em giả sử nó có nghiệm chung là $x_0$ , sau đó suy luận lằng nhằng để tìm $a$ . Sau đó thử lại.

Trả lời
- nvh95 says:
  
  03/12/2010 lúc 10:49 chiều
  
  Ngoài ra còn có cách xét các trường hợp về tập nghiệm nữa.
  Với trường hợp 2 tập nghiệm khác rỗng thì còn có thể dùng Vièt cho 2 pt rồi ép tổng và tiíc bằng nhau nữa.
  
  Trả lời
Sharing says:

03/12/2010 lúc 11:36 chiều

Có nghiệm chung mà Hưng?

Trả lời
hanh says:

19/06/2011 lúc 9:20 sáng

giải bài 1.8 kiểu gì vậy.làm chi tiết hộ a.

Trả lời
trà chanh says:

22/11/2011 lúc 9:28 chiều

thầy ơi bài 4.3.4 giải cụ thể thế nào ah?

Trả lời
Sharing says:

23/11/2011 lúc 7:57 chiều

Em đặt $S_n=x_1^n+x_2^n$ với $n=1,2,\cdots$ . Em sẽ tìm được mối liên hệ giữa $S_n,S_{n+1},S_{n+2}$ . Phần sau có được từ phần trước.

Trả lời
huytran says:

05/12/2011 lúc 8:54 chiều

sao không có giải thế thầy

Trả lời
Thắng says:

11/03/2012 lúc 8:45 chiều

Giải hộ mình bài này với
Cho phương trình xˆ2 – (2m+3)x + mˆ2 + 3m + 2 = 0
a)Tìm m để phương trình có một nghiệm X=2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn -3 < X1 < X2 < 6
d)Tìm m để phương trình có nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia
Nếu có thể thì các bạn gửi vào maiyeube_ruacon_9x@yahoo.com.vn hộ mình với. Cảm ơn các bạn nhiều

Trả lời

Gửi phản hồi Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (yêu cầu) (Address never made public)

Tên (yêu cầu)

Trang web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Thay đổi )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Thay đổi )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Thay đổi )

Hủy bỏ

Connecting to %s

Lưu ý khi viết một phản hồi

My first HTML page
1. Dùng tiếng Việt có dấu.

2. Dùng LaTeX trong các công thức Toán phức tạp.
Em là học sinh lớp Toán?

My first HTML page
1. Em có thể báo danh và giao lưu với các bạn ở đây.

2. Đây là khu vực dành riêng cho lớp em.
Meta
- Đăng ký
- Đăng nhập
- Dòng thông tin cho bài viết
- Dòng thông tin các phản hồi.
- WordPress.com
Tìm kiếm:
Thông báo qua email

Viết địa chỉ email của bạn vào ô trống dưới đây rồi nhấp chuột vào ô "Đăng ký" để nhận thông báo qua email khi có bài viết mới trên trang này.

Join 57 other followers

Bình chọn nhiều nhất
Bài viết mới
- Gần giải được giả thuyết yếu của Goldbach
- ShaMO 21/05/2012
- C1-C10
- Nắng sân trường – Chuyên KHTN 2012
- Chia sẻ của một thầy giáo dạy toán
- Dr. M. Boston
- Đề thi thử đại học lần 1,2,3 của Đại học Vinh, năm 2012
- ShaMO 07/05/2012
- Bài tập về tính đạo hàm
- Bài tập đại số (1)
- Chia sẻ hình nền (1)
- Thành phố buồn
- Sắp thi Đại học rồi nhỉ?
- ShaMO 21/04/2012
- Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2012
Phản hồi gần đây

Dang Huong on ?
Sharing on ?
Dang Huong on ?
Sharing on ?
Dang Huong on ?
Sharing on ?
Sharing on ?
Sharing on ?
Dang Huong on ?
Sharing on Download
Xem nhiều nhất
- Đề thi Đại học môn Toán; Khối A; Năm 2010
- Đề thi Đại học môn Toán; Khối D; Năm 2011
- Đề thi Đại học môn Toán; Khối A; Năm 2011
- Đề thi vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2011-2012
- Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan
- Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2012, THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa
- Đề thi Đại học môn Toán khối D năm 2009
- Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thái Bình; Năm 2011; Môn Toán
- Đề thi vào lớp 10, THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2011-2012
- Đề thi thử Đại học lần 2 năm 2012, THPT chuyên Hạ Long
Chuyên mục
- Bài viết từ nơi khác
- Chưa được phân loại
- Dịch
  - Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic
- Giải trí và tài nguyên
  - Ảnh
  - Cờ tướng
  - Du lịch
  - Nhạc
  - Sách
- Lớp Toán khoá 2010-2013
- Thủ thuật
- Toán phổ thông
- Toán đại học và sau đại học
  - Hình học đại số
  - Lý thuyết số đại số
Lưu trữ
Thẻ
Algebra Books bất đẳng thức bậc hai C1 CHL căn cờ tướng Dãy Fibonacci Geometry Group Hài hàm bậc nhất hệ hệ bậc hai IMO khảo sát loga Lý thuyết số lượng giác lập phương trình nguyên nguyên tố nhỏ nhất nội tiếp phương trình Phương trình bậc hai quy nạp rút gọn ShaMO số phức tam giác thi thử thể tích tổ hợp Vietnam Viét vào 10 vào 10 chuyên Đường tròn đường thẳng đếm định lý nhị thức đối xứng
Bạn bè
- Đức Anh
Blog Khoa học
- Annoying Precision
- Blog Khoa Học Máy Tính
- Concrete Nonsense
- Cyclotomic
- Delta Epsilons
- E. Kowalski
- Ellipticnews
- Frank Morgan
- Gérard Besson
- Gil Kalai
- GVietMath
- In theory
- London Number Theory
- Low Dimensional Topology
- Noncommutative Geometry
- Terry Tao
- The polymath blog
- Tim Gowers
Blog Toán phổ thông
- Amparvardi
- Darij Grinberg
- Hà Duy Hưng
- New Zealand Maths Olympiad Committee online
- Nguyễn Văn Linh
Diễn đàn
- Art of Problem Solving
- BoxMath
- Diễn đàn Toán học
- Lý Số Việt Nam
- Mathlinks
- Maths.vn
- Mathscope
- Mathvn
- Physics Forums
- Phượt
- Vật lý Việt Nam
- VietPhD
- VietScholar
Giải trí
- A State Of Trance
- Cẩm Ly
- Cờ Tướng
- Nhạn Môn Quan
- Như Một Lời Chia Tay
- Reading Cafe
- Simon Singh
- Tàng Thư Viện
- Thăng Long Kỳ Đạo
- Trịnh Công Sơn
- X5 Photo
Học sinh
- Phạm Đức Mạnh
Liên kết
- AMS
- AMS Graduate Student Blog
- Asian Pacific Math Newsletter
- Bếp nhà Khai Tâm
- Canada IMO Training
- Chuyên Hạ Long
- CMS
- GeoGebra
- Hà Huy Khoái
- Hội Toán học Hà Nội
- Lịch sử Việt Nam
- Maplevn
- MathIM
- Mathoverflow
- Mathpsg
- Ngô Bảo Châu
- Nguyễn Hữu Điển
- Nguyễn Tiến Zũng
- Noga Alon
- PDF to Word
- Phùng Hồ Hải
- Ralph Greenberg
- ScribTeX
- Sketches of Topology
- Từ Điển Tiếng Việt
- Tia Sáng
- VIASM
- Viện Toán học
- VMS
- Vũ Hà Văn
- W3 Schools
- YKHOANET
- Đàm Thanh Sơn
Tài nguyên
- AMC
- Berkeley Math Circle
- BMO
- BookFinder
- edX
- Estonian Math Competitions
- Gigapedia
- Google Books
- Harvard-MIT Mathematics Tournament
- M. C. Escher
- Math and the Art of M. C. Escher
- Math.ru
- MathOnline
- Mathvn.com
- MD
- MIT OCW
- NUMDAM
- OCW
- OnlineMathLearning
- Tài liệu học tập
- The IMO Compendium
- Thư viện đề thi
- Tournament of Towns and Math. Kangaroo at Toronto
- USA Mathematical Talent Search
- Utah OCW
- Vietnam OCW
- Đề thi Olympic Toán
Tạp chí Toán học
- Advances in Mathematics
- Annals of Mathematics
- Crux
- Duke Mathematical Journal
- Forum Geometricorum
- Inventiones mathematicae
- Journal of Classical Geometry
- Journal of Integer Sequences
- Journal of Number Theory
- Komal
- Kvant
- Kvant 2
- La Gaceta
- Mathematical Excalibur
- Mathematical Reflections
- Plus Magazine
- Recreatii Matematice
Đông khách xem nhất
- trungtuan.files.wordpress…
- 14k3.files.wordpress.com/…
- trungtuan.files.wordpress…
- trungtuan.files.wordpress…
- trungtuan.files.wordpress…
- trungtuan.files.wordpress…
- trungtuan.files.wordpress…
- trungtuan.files.wordpress…
- trungtuan.files.wordpress…
- trungtuan.files.wordpress…

Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan

14 Responses to Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan

Gửi phản hồi Cancel reply

Lưu ý khi viết một phản hồi

Em là học sinh lớp Toán?

Meta

Thông báo qua email

Lịch đăng bài

Bình chọn nhiều nhất

Bài viết mới

Phản hồi gần đây

Xem nhiều nhất

Chuyên mục

Lưu trữ

Thẻ

Bạn bè

Blog Khoa học

Blog Toán phổ thông

Diễn đàn

Giải trí

Học sinh

Liên kết

Tài nguyên

Tạp chí Toán học

Đông khách xem nhất

Số khách đang xem

Number Theory Web

Tuổi Trẻ Online-Giáo dục

MathOverflow

The New York Times

Time

Meta

Khách

Số lần khách ghé thăm

Chuyên mục

Bài viết mới

Lưu trữ

CÁC TÁC GIẢ

YZF-R1 2009

Follow “Sharing”

T2	T3	T4	T5	T6	T7	CN
« Tháng 4				Tháng 6 »
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31

	Dang Huong on ?
	Sharing on ?
	Dang Huong on ?
	Sharing on ?
	Dang Huong on ?
	Sharing on ?
	Sharing on ?
	Sharing on ?
	Dang Huong on ?
	Sharing on Download

Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan

Share this:

Like this:

14 Responses to Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan

Gửi phản hồi Cancel reply

Lưu ý khi viết một phản hồi

Em là học sinh lớp Toán?

Meta

Thông báo qua email

Lịch đăng bài

Bình chọn nhiều nhất

Bài viết mới

Phản hồi gần đây

Xem nhiều nhất

Chuyên mục

Lưu trữ

Thẻ

Bạn bè

Blog Khoa học

Blog Toán phổ thông

Diễn đàn

Giải trí

Học sinh

Liên kết

Tài nguyên

Tạp chí Toán học

Đông khách xem nhất

Số khách đang xem

Mây chuyên mục

Number Theory Web

Tuổi Trẻ Online-Giáo dục

MathOverflow

The New York Times

Time

Meta

Khách

Số lần khách ghé thăm

Follow “Sharing”