Bài toán. Tìm bậc và nhóm Galois của các trường phân rã của các đa thức sau trên \mathbb{Q}

a)f(x)=x^6-2;

b)g(x)=x^6+3.

Lời giải.

a)Gọi A là trường phân rã của f trên \mathbb{Q}. Vì đặc số của \mathbb{Q} bằng 0 và f bất khả quy trong \mathbb{Q}[x](theo tiêu chuẩn Eisenstein với số nguyên tố p=2) nên f tách được trên \mathbb{Q}, do vậy mà A là một mở rộng Galois của \mathbb{Q}. Đầu bài yêu cầu ta tìm \text{Gal} (A/\mathbb{Q}) và [A:\mathbb{Q}]=|\text{Gal} (A/\mathbb{Q})|. Trong \mathbb{C} phương trình f(x)=0 có các nghiệm là x_k=\sqrt[6]{2}\left(\cos\dfrac{2\pi k}{6}+i\sin\dfrac{2\pi k}{6}\right) với k=0,1,2,3,4,5. Như thế A=\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2},\epsilon_6)=\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2},i\sqrt{3}) với \epsilon_6 là một căn nguyên thuỷ bậc 6 cúa đơn vị. Bậc của A trên \mathbb{Q} sẽ chia hết cho bậc của \mathbb{Q}(\sqrt[6]{2}) trên \mathbb{Q}, vì f là đa thức tối tiểu của \sqrt[6]{2} trên \mathbb{Q} nên [\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2}):\mathbb{Q}]=6, do đó [A:\mathbb{Q}]=6,12,18,\cdots. Mặt khác ta có [A:\mathbb{Q}]=[A:\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2})]\cdot [\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2}):\mathbb{Q}]\leq 2\cdot 6=12 vì i\sqrt{3} là một nghiệm của đa thức x^2+3\in\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2})[x]. Như vậy là [A:\mathbb{Q}]=12, bởi vậy |\text{Gal} (A/\mathbb{Q})|=12. Ngay lập tức ta có 12 phần tử của \text{Gal} (A/\mathbb{Q}) là \sqrt[6]{2}\mapsto \epsilon_6^k\sqrt[6]{2},\epsilon_6\mapsto\epsilon_6^j với k=0,1,2,3,4,5 và j=1,5(những số nguyên tố cùng nhau với 6).

b)Gọi B là trường phân rã của g trên \mathbb{Q}. Vì đặc số của \mathbb{Q} bằng 0 và g bất khả quy trong \mathbb{Q}[x](theo tiêu chuẩn Eisenstein với số nguyên tố p=3) nên g tách được trên \mathbb{Q}, do vậy mà B là một mở rộng Galois của \mathbb{Q}. Đầu bài yêu cầu ta tìm \text{Gal} (B/\mathbb{Q}) và [B:\mathbb{Q}]=|\text{Gal} (B/\mathbb{Q})|. Trong \mathbb{C} đa thức g có các nghiệm x_k=i\sqrt[6]{3}\left(\cos\dfrac{2\pi k}{6}+i\sin\dfrac{2\pi k}{6}\right) với k=0,1,2,3,4,5. Như thế B=\mathbb{Q}(i\sqrt[6]{3}) và [B:\mathbb{Q}]=|\text{Gal}(B/\mathbb{Q})|=6 do đa thức g chính là đa thức tối tiểu của i\sqrt[6]{3} trên \mathbb{Q}. Cũng thấy ngay rằng các phần tử của \text{Gal}(B/\mathbb{Q}) là i\sqrt[6]{3}\mapsto i\sqrt[6]{3}\epsilon_6^k với k=0,1,2,3,4,5 và \epsilon_6 là một căn nguyên thuỷ bậc 6 của đơn vị.