Một miền nguyên được gọi là một miền chính nếu mọi ideal của nó đều là ideal chính, hai ví dụ quan trọng nhất về miền chính là \mathbb{Z} và F[x] với F là một trường. Vì cấu trúc các ideal của một vành thể hiện trong cấu trúc các mô đun trên vành đó nên các mô đun trên vành chính có các tính chất đặc biệt. Bài này tôi sẽ giới thiệu định lý cấu trúc của các mô đun hữu hạn sinh trên một miền chính cùng hai áp dụng của nó vào các nhóm Abel hữu hạn sinh và dạng chuẩn tắc Jordan của một ma trận.

Định lý cơ bản. Cho R là một miền chính và M là một mô đun hữu hạn sinh trên R. Khi đó M đẳng cấu với tổng trực tiếp của hữu hạn các mô đun cyclic. Cụ thể hơn M\backsimeq R^r\oplus R/(a_1)\oplus\cdots\oplus R/(a_m) với một số nguyên không âm r và các phần tử khác không a_1,\cdots,a_m của R, chúng không phải các phần tử đơn vị của R và thoả mãn quan hệ chia hết a_1|a_2|\cdots |a_m.

Tôi sẽ không viết ra một chứng minh ở đây, ai quan tâm đến chứng minh của định lí này có thể tìm trong các giáo trình Đại số đại cương. Gìơ ta đi vào hai áp dụng của định lý này.

Vì \mathbb{Z} là một miền chính và mỗi nhóm Abel cũng là một mô đun trên \mathbb{Z} theo cách thông thường nên ta có kết quả sau như một hệ quả ngay lập tức của định lý cơ bản

Định lý cơ bản của nhóm Abel hữu hạn sinh. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn sinh. Khi đó G\backsimeq \mathbb{Z}^r\times\mathbb{Z}_{n_1}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{n_s}, với các số nguyên r,n_1,\cdots,n_s thoả mãn các điều kiện sau

1)r\geq 0 và n_i\geq 2\forall i\geq 1;

2)n_1|n_2|\cdots |n_s.

Nếu r=0 thì G là hữu hạn và (n_1,n_2,\cdots,n_s) sẽ được gọi là kiểu của G.

Gìơ cho V là không gian véc tơ có chiều bằng n trên trường đóng đại số F. Cố định một ma trận vuông A cấp n với phần tử trong F và gọi T là biến đổi tuyến tính của V ứng với nó. Khi đó V là một mô đun trên F[x] theo cách: Với mỗi đa thức h\in F[x] ta cho h tác động vào v\in V như biến đổi tuyến tính h(T) tác động vào v. Theo định lí cơ bản ta có V là tổng trực tiếp của các F[x]-mô đun có dạng F[x]/(x-\lambda)^k vì V hữu hạn chiều trên F và các đa thức bất khả quy mô nic trên trường đóng đại số chỉ là các đa thức có dạng x-\lambda. Gọi \bar{x} là ảnh của x trong F[x]/(x-\lambda)^k thì 1,\bar{x}-\lambda,\cdots, (\bar{x}-\lambda)^{k-1} là một cơ sở của F-không gian véc tơ F[x]/(x-\lambda)^k, ma trận của T trong cơ sở này cũng là ma trận của biến đổi tuyến tính xác định bởi phép nhân bởi x và nó là một khối Jordan với đường chéo chính toàn là \lambda. Như vậy ta có

Định lý về dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận. Cho A là một ma trận vuông trên một trường đóng đại số. Khi đó A sẽ đồng dạng với một ma trận đường chéo khối, trong đó mỗi khối là một khối Jordan.