Trường phân rã của hai đa thức bậc 6 trên Q

Bài toán. Tìm bậc và nhóm Galois của các trường phân rã của các đa thức sau trên

a);

b).

Lời giải.

a)Gọi là trường phân rã của trên . Vì đặc số của bằng và bất khả quy trong (theo tiêu chuẩn Eisenstein với số nguyên tố ) nên tách được trên , do vậy mà là một mở rộng Galois của . Đầu bài yêu cầu ta tìm và . Trong phương trình có các nghiệm là với . Như thế với là một căn nguyên thuỷ bậc cúa đơn vị. Bậc của trên sẽ chia hết cho bậc của trên , vì là đa thức tối tiểu của trên nên , do đó . Mặt khác ta có vì là một nghiệm của đa thức . Như vậy là , bởi vậy . Ngay lập tức ta có phần tử của là với và (những số nguyên tố cùng nhau với ).

b)Gọi là trường phân rã của trên . Vì đặc số của bằng và bất khả quy trong (theo tiêu chuẩn Eisenstein với số nguyên tố ) nên tách được trên , do vậy mà là một mở rộng Galois của . Đầu bài yêu cầu ta tìm và . Trong đa thức có các nghiệm với . Như thế và do đa thức chính là đa thức tối tiểu của trên . Cũng thấy ngay rằng các phần tử của là với và là một căn nguyên thuỷ bậc của đơn vị.

Mô đun hữu hạn sinh trên miền chính

Một miền nguyên được gọi là một miền chính nếu mọi ideal của nó đều là ideal chính, hai ví dụ quan trọng nhất về miền chính là và với là một trường. Vì cấu trúc các ideal của một vành thể hiện trong cấu trúc các mô đun trên vành đó nên các mô đun trên vành chính có các tính chất đặc biệt. Bài này tôi sẽ giới thiệu định lý cấu trúc của các mô đun hữu hạn sinh trên một miền chính cùng hai áp dụng của nó vào các nhóm Abel hữu hạn sinh và dạng chuẩn tắc Jordan của một ma trận.

Định lý cơ bản. Cho là một miền chính và là một mô đun hữu hạn sinh trên . Khi đó đẳng cấu với tổng trực tiếp của hữu hạn các mô đun cyclic. Cụ thể hơn với một số nguyên không âm và các phần tử khác không của , chúng không phải các phần tử đơn vị của và thoả mãn quan hệ chia hết .

Tôi sẽ không viết ra một chứng minh ở đây, ai quan tâm đến chứng minh của định lí này có thể tìm trong các giáo trình Đại số đại cương. Gìơ ta đi vào hai áp dụng của định lý này.

Vì là một miền chính và mỗi nhóm Abel cũng là một mô đun trên theo cách thông thường nên ta có kết quả sau như một hệ quả ngay lập tức của định lý cơ bản

Định lý cơ bản của nhóm Abel hữu hạn sinh. Cho là một nhóm Abel hữu hạn sinh. Khi đó với các số nguyên thoả mãn các điều kiện sau

1) và ;

2).

Nếu thì là hữu hạn và sẽ được gọi là kiểu của .

Gìơ cho là không gian véc tơ có chiều bằng trên trường đóng đại số . Cố định một ma trận vuông cấp với phần tử trong và gọi là biến đổi tuyến tính của ứng với nó. Khi đó là một mô đun trên theo cách: Với mỗi đa thức ta cho tác động vào như biến đổi tuyến tính tác động vào . Theo định lí cơ bản ta có là tổng trực tiếp của các -mô đun có dạng vì hữu hạn chiều trên và các đa thức bất khả quy mô nic trên trường đóng đại số chỉ là các đa thức có dạng . Gọi là ảnh của trong thì là một cơ sở của -không gian véc tơ , ma trận của trong cơ sở này cũng là ma trận của biến đổi tuyến tính xác định bởi phép nhân bởi và nó là một khối Jordan với đường chéo chính toàn là . Như vậy ta có

Định lý về dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận. Cho là một ma trận vuông trên một trường đóng đại số. Khi đó sẽ đồng dạng với một ma trận đường chéo khối, trong đó mỗi khối là một khối Jordan.

3.2. Cấu trúc của nhóm U_1

Bổ đề.-Cho với nếu và nếu . Khi đó .

Theo giả thiết ta có với . Công thức nhị thức cho ta , số mũ của những số hạng không được viết ra , do đó cũng . Hơn nữa (bao gồm luôn cả trường hợp nếu ). Điều này chứng tỏ rằng , do đó .

Mệnh đề 8.-Nếu , đẳng cấu với . Nếu , và đẳng cấu với .

Xét trường hợp đầu tiên . Chọn một phần tử , chẳng hạn . Theo bổ đề trên ta có . Cho là ảnh của trong ; ta có và . Nhưng có cấp nên nó là một nhóm cyclic sinh bởi . Bây giờ ký hiệu là đẳng cấu của lên . Biểu đồ

là giao hoán. Từ điều này ta thấy xác đinh một đẳng cấu từ lên , và mệnh đề được chứng minh với trường hợp .

Bây giờ giả sử rằng . Chọn , nghĩa là . Xác định như trên các đẳng cấu và một đẳng cấu . Mặt khác, đồng cấu cảm sinh một đẳng cấu từ lên . Từ điều này ta có .

Định lí 2.-Nhóm đẳng cấu với nếu và với nếu .

Mọi phần tử có thể viết một cách duy nhất dưới dạng với   và . Do đó . Hơn nữa, mệnh đề 7 chứng tỏ rằng ở đây là nhóm cyclic cấp , và cấu trúc của cho bởi mệnh đề 8.

Định lý nâng của Cohen-Seidenberg

Hồi mình mới học Hình học đại số gặp cái định lý này có phép chứng minh hay phết. Hôm nay chép lại nó từ Red book cho vui, tất cả các vành dưới đây đều giả sử là giao hoán và có đơn vị.

Định lý. Cho là một vành và là vành khác sao cho nguyên trên . Với tất cả các ideal nguyên tố của , tồn tại ideal nguyên tố của sao cho .

Chứng minh. Đặt . Bởi vì là ideal nguyên tố nên là tập nhân tính, ta có thể quan tâm đến các địa phương hoá của bởi , ký hiệu chúng là . Ta thấy là là một vành con của    và là nguyên trên . Như thế chúng ta sẽ có biểu đồ sau

Nhờ vào biểu đồ này ta chỉ cần chứng minh định lý cho trường hợp là vành địa phương và là ideal cực đại của nó. Thật vậy, là vành địa phương với ideal cực đại(và do đó nguyên tố) và . Nếu là một ideal nguyên tố của sao cho (ideal này tồn tại vì ta đang giả sử định lý đúng với vành địa phương và ideal cực đại tương ứng), khi đó là một ideal nguyên tố của và .

Như vậy là lúc này ta sẽ làm việc với trường hợp là vành địa phương và là ideal cực đại của nó. Lúc đó với mỗi ideal của , từ đây, đương nhiên ta hy vọng rằng khi là ideal cực đại thì sẽ có dấu đẳng thức. Qủa vậy, lấy bất kỳ một ideal cực đại của (ideal này tồn tại theo bổ đề Zorn), ta sẽ chứng minh , khi đó định lý được chứng minh bởi một ideal cực đại sẽ là ideal nguyên tố. Xét biểu đồ sau

Vì là cực đại nên là một trường, suy ra cũng là một trường (vì là một trường và nguyên trên nó), bởi vậy là một ideal cực đại của , nó phải là vì chỉ có một ideal cực đại mà thôi. Định lý được chứng minh.

3.1. Lọc của nhóm các đơn vị

Cho là nhóm các đơn vị -adic. Với mỗi , đặt ; đây là nhân của đồng cấu . Nói riêng, thương có thể đồng nhất với , do đó nó là cyclic bậc (xem Chương 1, định lý 2). làm thành một dãy giảm các nhóm con mở của , và . Nếu , ánh xạ xác đinh một đẳng cấu ; điều này có được từ công thức . Từ đây, bởi quy nạp theo ta có có bậc .

Bổ đề.-Cho là một dãy khớp các nhóm giao hoán(ký hiệu theo lối cộng) với và là hữu hạn có cấp và nguyên tố cùng nhau. Cho là tập những thuộc sao cho . Nhóm là tổng trực tiếp của và . Hơn nữa là nhóm con duy nhất của đẳng cấu với .

Vì và nguyên tố cùng nhau nên có các số nguyên thoả mãn . Nếu , thì , do đó ; và . Hơn nữa, mỗi có thể viết dưới dạng ; vì , ta có , do đó ; mặt khác, từ kéo theo . Do đó ta thấy rằng và phép chiếu xác định một đẳng cấu từ lên . Ngược lại, nếu là một nhóm con của đẳng cấu với , ta có dó đó và bởi vì hai nhóm này có cùng cấp.

Mệnh đề 7.-Ta có ở đây là nhóm con duy nhất của đẳng cấu với .

Áp dụng bổ đề với dãy khớp , có thể áp dụng được bởi vì cấp của bằng và cấp của bằng . Từ đây, ta có chứa một nhóm con duy nhất đẳng cấu với và phép chiếu mang đẳng cấu với . Vì , bởi cho qua giới hạn ta có một nhóm con của đẳng cấu với . Ta có ; sự duy nhất của suy ra từ sự duy nhất của .

Hệ quả.-Trường chứa các căn bậc của đơn vị.

Chú ý-1)Nhóm được gọi là nhóm các biểu diễn nhân tính của các phần tử của .

2)Sự tồn tại của cũng có thể có được khi áp dụng hệ quả 1 của định lý 1 với phương trình .

Số nghiệm xạ ảnh của đa thức x^3+y^3+z^3 trong trường hữu hạn có p phần tử

Rõ ràng là không hy vọng gì đếm chính xác số lời giải của một đa tạp trên trường hữu hạn rồi, bài này tôi giới thiệu một trường hợp có thể đếm được.

Định lý. (Gauss) Cho là số lời giải xạ ảnh của phương trình với .

a)Nếu thì ;

b)Nếu thì có các số nguyên sao cho . là duy nhất sai khác dấu, và nếu ta cố định dấu của sao cho thì .

Chứng minh của định lý này dài, không dễ nhưng tuyệt hay, tôi không thể gõ cả nó lên đây được. Ai quan tâm có thể download bên dưới đây (Nó ở trong một cuốn sách của Silverman và Tate tên là Đỉêm hữu tỷ trên đường cong elliptic.)

Gauss

2.2. Cải thiện các nghiệm gần đúng

Ta quan tâm đến việc chuyển từ một lời giải đến một lời giải đúng(nghĩa là với hệ số trong ). Người ta sử dụng bổ đề sau(tương tự -adic của “phương pháp Newton”):
Bổ đề-Cho và là đạo hàm của nó. Cho sao cho . Khi đó tồn tại sao cho và .
Lấy có dạng với . Theo công thức Taylor ta có với . Theo giả thiết và với và . Điều này cho phép ta chọn thoả mãn . Từ đây ta có vì . Cuối cùng áp dụng công thức Taylor với ta có ; vì ta thấy là .
Định lý 1.-Cho và là một số nguyên sao cho . Gỉa sử và và . Khi đó tồn tại một không điểm của trong sao cho nó đồng dư với modulo .
Trước hết ta giả sử rằng . Áp dụng bổ đề trên với , ta có đồng dư với sao cho và . Ta có thể áp dụng bổ đề với sau khi thay bởi . Theo cách này bằng quy nạp ta sẽ có dãy thoả mãn và . Đây là một dãy Cauchy. Nếu là giới hạn của nó ta sẽ có và , do vậy định lý đúng với . Trường hợp suy ra từ trường hợp , chỉ cần thay đổi . Cụ thể hơn, cho là đa thức một biến hình thành từ khi thay với bởi . Áp dụng điều vừa chứng minh với và ; tồn tại sao cho . Nếu ta đặt với thì phần tử thoả mãn các điều kiện đòi hỏi của định lý.
Hệ quả 1.-Mỗi không điểm đơn của phép co modulo của một đa thức nâng lên một không điểm của với hệ số trong .
(Nếu là một đa thức trên trường , một không điểm của được gọi là  đơn nếu ít nhất một trong các đạo hàm riêng khác không tại .)
Đây là trường hợp đặc biệt .
Hệ quả 2.-Gỉa sử . Cho với là một dạng bậc hai có hệ số trong với định thức khả nghịch. Cho . Mỗi lời giải nguyên thuỷ của phương trình nâng tới một lời giải đúng.
Quan tâm đến hệ quả 1, sẽ là đủ nếu ta chỉ ra các đạo hàm riêng của không cùng lúc triệt tiêu modulo . Bây giờ ; vì và là nguyên thuỷ, một trong các đạo hàm riêng này khác .
Hệ quả 3.-Gỉa sử . Cho với là một dạng bậc hai với hệ số trong và cho . Cho là một lời giải nguyên thuỷ của . Ta có thể nâng thành một lời giải đúng của nếu các đạo hàm riêng của không cùng lúc triệt tiêu modulo tại ; điều kiện cuối này sẽ thoả mãn nếu khả nghịch.
Mệnh đề đầu có khi áp dụng định lý với ; mệnh đề thứ hai có thể chứng minh như trường hợp (bỏ đi nhân tử .)

Chuỗi tổng nghịch đảo các số nguyên tố

Bài toán.Cho là dãy tất cả các số nguyên tố. Chứng minh rằng chuỗi là chuỗi phân kỳ.

Lời giải.

Cách chứng minh sau của Clarkson.

Giả sử ngược lại, khi đó có số thỏa mãn . Đặt và xét các số với Tất cả những số này đều không có ước nguyên tố trong tập . Do vậy mà mỗi , theo định lý cơ bản của Số học ta có . Do đó chuỗi tổng nghịch đảo các số đang xét hội tụ, vô lý.

P.S. Hình như có kết quả nói là tổng đầu bài gần bằng khi n đủ lớn.

2.1. Các nghiệm

Bổ đề.-Cho là một hệ xạ ảnh, và là giới hạn xạ ảnh của nó. Nếu là hữu hạn và khác rỗng, thì khác rỗng.

Kết quả là đơn giản nếu các là toàn ánh; ta sẽ dẫn bổ đề đến trường hợp này. Để làm điều này, ký hiệu là ảnh của trong ; với cố định là dãy giảm các tập hữu hạn khác rỗng; do đó dãy này phải dừng, nghĩa là, dãy không phụ thuộc khi đủ lớn. Gọi là giá trị giới hạn của dãy này. Ta thấy ngay rằng mang trùm lên ; vì các khác rỗng nên khác rỗng , bởi vì nhận xét lúc đầu nên ta có khác rỗng.

Ký hiệu.-Nếu là một đa thức với hệ số trong , và nếu là một số nguyên , ta ký hiệu là đa thức có hệ số trong có được từ bởi phép co modulo .

Mệnh đề 5.-Cho là các đa thức với hệ số nguyên -adic. Các điều sau là tương đương:

i)Các có nghiệm chung trong ;

ii)Với mỗi các đa thức có nghiệm chung trong .

Gọi (tương ứng ) là tập các nghiệm chung của các (tương ứng các ). Các là hữu hạn và . Bởi bổ đề trên ta thấy khác rỗng khi và chỉ khi các khác rỗng. Mệnh đề được chứng minh.

Một điểm được gọi là nguyên thuỷ nếu một trong các là khả nghịch, nghĩa là, không phải tất cả các chia hết cho . Ta định nghĩa phần tử nguyên thuỷ của một cách tương tự.

Mệnh đề 6.-Cho các là các đa thức thuần nhất với hệ số nguyên -adic. Các điều sau là tương đương:

a)Các có nghiệm chung không tầm thường trong ;

b)Các có nghiệm chung nguyên thuỷ trong ;

c)Với tất cả , các có nghiệm chung nguyên thuỷ trong .

Phép suy là tầm thường. Ngược lại, nếu là một nghiệm chung không tầm thường của các , đặt và . Dễ thấy là một phần tử nguyên thuỷ của , và đó là một nghiệm chung của các . Do vậy b) tương đương với a). Tính tương đương của b) và c) có được từ bổ đề.

Một số điều nên và không nên trong giảng dạy Toán[Phần 12]

Trong phần này tôi muốn bàn đến việc nên làm thế nào để giúp trẻ em rèn luyện khả năng suy nghĩ sâu sắc (deep thinking).

Thế nào là suy nghĩ sâu sắc ? Một số đặc trưng của suy nghĩ sâu sắc là:

• Suy luận bắc cầu nhiều bước, chứ không dừng lại ở 1-2 bước đầu tiên (như trong chơi cờ: người suy nghĩ sâu là người tính trước mấy nước đi)

• Nhìn một vấn đề từ nhiều chiều nhiều hướng khác nhau, chứ không chỉ nghĩ “một chiều”.

• Tìm cách “nhận dạng” vấn đề và sự liên quan đến các vấn đề khác

• Không thỏa mãn với những câu trả lời “đơn giản hóa”, “giáo điều”, mà đi tìm những “lời giải thích” sâu sắc hơn.

• Lật đi lật lại vấn đề, kiểm tra các suy luận và thông tin.

• Mất nhiều thời gian để suy nghĩ cho một vấn đề

Trong đời sống của con người, hầu hết các hoạt động được làm theo phản xạ mà không cần suy nghĩ hoặc chỉ cần suy nghĩ đơn giản 1-2 bước. Nhưng có những việc quan trọng, đòi hỏi khả năng suy nghĩ sâu, ví dụ như phân tích tình hình, vạch chiến lược, hay là nghiên cứu một vấn đề xã hội hay một vấn đề khoa học. Những người “bình dân” có thể ít khi suy nghĩ sâu sắc, nhưng những người muốn tự nhận mình là “trí thức”, không thể không biết suy nghĩ một cách độc lập và sâu sắc.

Khả năng suy nghĩ sâu sắc không phải tự nhiên sinh ra mà có (trẻ em suy nghĩ rất giản đơn), mà là một kỹ năng có thể được tăng dần lên qua quá trình luyện tập thành thói quen. Theo các nhà thần kinh học thì không chỉ các kiến thức, mà cả các kỹ năng của con người cũng được ghi trong bộ nhớ của não. Tương tự như là máy tính, kiến thức thì được nhớ ở dạng dữ liệu (data) còn kỹ năng được nhớ ở dạng chương trình (programs). Trong đó có các “bản năng”, là các kỹ năng từ lúc sinh ra đã có sẵn trong bộ não, ví dụ như bản năng nghe nhìn, ăn uống, tự vệ, làm tình, v.v. (những thứ không ai dạy cũng biết làm ở mức độ nào đó), và các kỹ năng còn lại là do học được trong quá trình sống. Tất nhiên các kỹ năng có thể tốt lên (nếu được sử dụng và luyện tập thường xuyên) hoặc tồi đi cùng với thời gian.

Để có kỹ năng suy nghĩ sâu sắc, thì không có cách gì khác, là phải thường xuyên được luyện tập suy nghĩ sâu sắc. Một anh bạn tôi gốc do Thái (nhưng không theo đạo Do Thái) có kể cho tôi một câu chuyện thú vị sau: đạo Do Thái rất là phức tạp, rất nhiều luật lệ, và những người theo đạo, từ đứa trẻ con, phải nghiêm chỉnh tuân thủ các luật đó. Có điều các luật đó lại mâu thuẫn với nhau nhau, nhưng có 1 luật là: nếu 2 luật mâu thuẫn nhau, thì áp dụng luật nào quan trọng hơn (higher priority) trong hai luật đó. Ví dụ ngày thứ 7 không được lái xe ô tô và nói chung không được làm gì cả. Nhưng đúng hôm đó vợ đẻ mà không có cấp cứu thì sao ? Nếu không chở xe đưa vợ đến bệnh viện, mà để ở nhà, thì vợ có thể chết, nhưng sự sống là quan trọng nhất. Bởi vậy trong trường hợp đó phải lái xe chở vợ đến bệnh viện. Đưa vợ vào đến viện rồi thì phải đi bộ (không còn lý do để đi xe nữa). Thế nhưng không được để xe trước cửa bệnh viện (cản đường người khác, có thể làm người khác bị chết) nên phải lái xe đi ra khỏi bệnh viện để vào chỗ nào đó đã. Thế nhưng đi cách khỏi cổng bệnh viện bao nhiêu mét, đến chỗ nào thì phải dừng lại và đến chỗ nào thì chưa được dùng lại, là câu hỏi khó tha hồ mà suy nghĩ ! Hay là luật lệ về ăn uống của họ khá phức tạp, có nhiều cái cấm ăn. Thế nhưng lại có luật là “nếu ở chỗ đông người, thì không được làm ảnh hưởng xấu đến không khí ở chỗ đó”, nên nếu vì không ăn cái gì đó mà làm những người xung quanh mếch lòng, thì có khi họ vẫn ăn. Từ khi nhỏ tuổi người Do Thái đã luôn gặp các tình huống phải suy nghĩ như vậy, khiến họ luôn luôn suy nghĩ, và “tự nhiên” trở thành các “thinkers”. Điều này một phần giải thích tại sao có nhiều người Do Thái thông minh. Người Việt Nam cũng có tiếng là “thông minh” (hay “khôn vặt” có khi chính xác hơn), vì luôn luôn “nghĩ mẹo”.

Trong hầu hết các môn học đều có những câu hỏi, những vấn đề đòi hỏi phải suy nghĩ sâu. Có điều học sinh có được luyện suy nghĩ hay không, còn phụ thuộc vào cách dạy và cách thi cử. Nếu học chỉ để cốt nhớ như con vẹt, và khi đi thi cứ nhớ như vẹt là yên tâm được điểm cao còn “lý sự” lại bị trừ điểm, thì chẳng còn gì để mà suy nghĩ. Tôi lấy ví dụ môn sinh vật. Tôi tin rằng đó là môn rất hay, có rất nhiều cái để tò mò, khám phá, để suy luận. Nhưng mới đây khi tôi cầm xem một quyển sách về “học sinh vật qua các câu hỏi trắc nghiệm” bậc PTTH thì phát sợ. Tôi không thể hình dung nổi làm sao học sinh phổ thông trung học có thể nhớ hết tất cả đống thông tin rời rạc về sinh vật trong quyển sách đó. Một đề bài thi trắc nghiệm sinh vật chỉ có 60 phút mà có những 40 câu hỏi. Để trả lời được 40 câu hỏi thì phải nhớ và trả lời như cái máy thôi, chứ làm sao có thể “suy nghĩ” và “hiểu” gì, trừ khi là “thần đồng”. Bây giờ mà tôi phải đi học phổ thông, thi môn sinh vật có khi được 2 điểm. Hay là môn lịch sử, cũng là môn rất hay. Nhưng lối dạy và học hiện tại theo tổi hiểu là học để nhớ một đống các sự kiện ngày tháng, và nhớ luôn cả các bình luận lịch sử như “sách bảo” một cách giáo điều, mà không khuyến khích đào sâu suy nghĩ, khuyến khích “hiểu” lịch sử. Ông Nguyễn Ánh đã được sách gọi là “cưỡi rắn cắn gà nhà” thì học sinh sẽ chỉ biết có vậy, không được phân tích sâu thêm về ông ta, về hoàn cảnh lịch sử giai đoạn đó. Không kể đến những môn chính trị đặc giáo điều, hay môn triết học biến tướng thành chính trị, ai học phải những môn đó mà dám thể hiện là mình “nghĩ sâu, nghĩ độc lập”, có khi “tiêu” luôn.

Môn toán thường được coi là môn học đòi hỏi phải suy nghĩ nhiều nhất (chứ không chỉ nhớ) trong các môn học. Điều này có lý, vì số lượng kiến thức cần nhớ trong toán tương đối ít so với những môn khác, nhưng các bài tập toán thường đòi hỏi phải suy nghĩ ít ra vài ba bước, chứ không chỉ nhớ định lý, công thức là có ngay kết quả. Do đặc tính đó của môn toán, nên nó được dùng như là môn chủ đạo trong các kỳ thi tuyển vào đại học (kể cả cho các ngành mà về sau rất ít dùng đến kiến thức toán, nhưng cái gọi là “khả năng suy luận logic” thì hầu như ngành nào cũng dùng đến). Điều này là hợp lý, vì (ít ra về “lý thuyết”) đề thi toán không chỉ nhằm kiểm tra kiến thức toán (tức là các công cụ toán học đã được học), mà còn nhằm kiểm tra khả năng suy nghĩ logic sâu sắc của học sinh. Tất nhiên, để đạt được mục đích đó, thì trong đề thi cần có những bài đòi hỏi khả năng suy luận logic sâu sắc. Đề thi toán mà gồm toàn những câu hỏi tủn mủn, để đạt điểm cao không cần nghĩ sâu mà chỉ cần “nhớ nhiều, điền nhanh”, thì sẽ mất đi tác dụng kiểm tra khả năng suy nghĩ của môn toán. Đó chính là điều đáng lo ngại về xu hướng thi trắc nghiệm hiện tại. (Bản thân việc thi trắc nghiệm có những ưu điểm của nó, nhưng kiểu ra đề thi trắc nghiệm với toàn những câu hỏi tủn mủn là điều đáng lo ngại).

Trong môn toán (cũng như các môn khác), không phải bài tập nào, vấn đề nào, lý thuyết nào cũng sâu sắc (đòi hỏi suy nghĩ sâu) như nhau. Thế nào là một bài tập sâu sắc ? Trong môn toán, những bài tập nào mà thường chỉ làm có trong vòng 10 phút là xong thì thường được coi là “dễ, hiển nhiên”, bài nào phải mất rất nhiều thời gian để suy nghĩ (có khi hàng tiếng đồng hồ hoặc hơn) thì là “sâu, khó”. Trong các kỳ thi IMO, đề thi mỗi ngày chỉ có 3 bài tập, và học sinh được giải trong vòng 4 tiếng rưỡi 3 bài đó. Trên trang web (blog) gowers.wordpress.com về toán học, có một ví dụ thú vị sau đây về một bài tập sâu sắc: Cho f là một hàm số liên tục từ R vào R với tính chất sau: với bất kỳ số dương a nào, thì dãy số f(a), f(2a), f(3a), f(4a), … tiến tới 0. CMR f(x) tiến tới 0 khi x tiến tới dương vô cùng. (Xem http://gowers.wordpress.com/2008/07/25/what-is-deep-mathematics/). Bài toán trên không đòi hỏi kiến thức gì quá cao (học sinh cuối PTTH có thể hiểu và giải được nó), nhưng sâu sắc vì nó đòi hỏi suy luận nhiều bước, hướng giải và lời giải không hiển nhiên. Những học sinh nào mà tự làm được những bài như vậy, có thể coi là “học sinh giỏi toán” (giỏi ở đây chính là giỏi suy luận logic, và kỹ năng này rất quí bất kể về sau học sinh đi theo ngành gì). Những học sinh mà nắm vững các khái niệm về giới hạn và liên tục nhưng vẫn không giải được bài như vậy, thì không có nghĩa là “dốt toán”, mà chỉ là “không đến mức thật giỏi”. Có những bài toán tổ hợp mà những học sinh học lớp 3 cũng có thể hiểu được, nhưng về độ sâu sắc thì cũng không kém gì bài trên.

Việc giao và khuyến khích học sinh làm những bài tập sâu sắc là cần thiết, nếu muốn học sinh luyện suy nghĩ sâu. Cũng như trong chơi cờ (cũng là một môn tốt cho rèn luyện suy nghĩ): nếu chỉ chơi với toàn đối thủ quá kém hơn mình, thì khó mà tiến bộ, phải chơi nhiều với những đối thủ giỏi hơn hoặc bằng mình mới nhanh tiến bộ. Nhưng nếu chơi với toàn đối thủ giỏi quá, chỉ toàn thua mà không thắng được lần nào, thì cũng dễ chán. Trong việc học cũng vậy: nếu giao toàn bài quá dễ cho học sinh, thì học sinh sẽ thấy nhàm chán, nhưng nếu toàn bài khó quá không giải được và không gợi ý hướng giải, thì cũng không phải là cách rèn luyện hiệu quả. Nếu cho bài quá khó học sinh không giải được, rồi sau đó lại cho lời giải bắt học sinh học thuộc, thì cũng ít có suy nghĩ gì của học sinh ở đó.

Những tờ báo toán học cho học sinh phổ thông, như Kvant (của Nga), Mathematical Monthly (Mỹ), hay Toán Học Tuổi Trẻ,với những câu chuyện và bài tập sâu sắc trong đó, rất có ích cho việc giúp học sinh rèn luyện khả năng suy nghĩ sâu. (Tiếc là báo Toán Học Tuổi Trẻ có lúc không còn “sâu sắc” mà ngả theo hướng”luyện thi”).

———————

Nguồn http://zung.zetamu.com/?p=1037