Lời xin lỗi của một nhà Toán học[Phần 13]

Vẫn còn lại một điểm từ phần 11, khi tôi bắt đầu sự so sánh giữa “toán học thực sự” và cờ vua. Giờ đây chúng ta đã có thể chấp nhận rằng về mặt nội dung, sự quan trọng và thiết yếu thì các định lý toán học thực sự có lợi thế hơn hẳn. Cũng hoàn toàn hiển nhiên với bất cứ một người có hiểu biết nào, toán học hơn hẳn nhờ vẻ đẹp của mình; nhưng lợi thế này cũng khó định nghĩa và phân loại hơn rất nhiều, vì điểm thiếu xót chủ yếu của một ván cờ đơn giản chỉ là “sự tầm thường” của nó, và sự tương phản trong điều này làm trộn lẫn và ảnh hưởng bất kỳ đánh giá thẩm mỹ thuần túy nào. Dựa vào quan điểm “thẩm mỹ thuần túy” nào liệu ta có thể phân biệt giữa định lý của Euclid và định lý của Pythagoras? Tôi sẽ không mạo hiểm hơn chỉ với một vài nhận xét rời rạc nữa.

Trong các định lý (và khi nói tới các định lý, tất nhiên tôi đã gộp cả những lời giải của chúng), luôn có một tính bất ngờ lớn, kết hợp với một sự chắc chắn xảy ra và ngắn gọn. Các lập luận, một cách khó hiểu và ngạc nhiên, tạo thành một thể thống nhất; những vũ khí sử dụng dường như vô cùng đơn giản khi so sánh với những kết quả có ảnh hưởng sâu rộng nhưng lại không có một lối thoát nào có thể ra khỏi kết luận của bài toán. Nội dung cũng không phải là khó – một dòng để tấn công đã là đủ trong mỗi trường hợp; và điều này cũng đúng trong nhiều lời giải của rất nhiều những định lý khó hơn nhiều, mà sự đánh giá đầy đủ của chúng đòi hỏi việc thành thạo trong các kỹ thuật rất lớn. Chúng ta không muốn nhiều “dạng khác nhau” trong lời giải của một định lý toán học: “Một sự liệt kê các trường hợp” thực sự là một kiểu nhàm chán của một lập luận toán học. Một lời giải toán học cần phải giống một chùm sao đơn giản và rõ ràng, không phải là một chùm các mảnh vỡ trong dải ngân hà.

Một ván cờ cũng có tính chất bất ngờ và một sự kinh tế nhất định; việc các nước dy chuyển phải bất ngờ và mọi quân cờ trên bàn đều có vai trò của nó là một việc rất quan trọng. Nhưng hiệu ứng thẩm mỹ thì được dồn lại. Cũng như vậy, mỗi nước đi phải kéo theo một loạt các biến thể đẹp, mỗi biến thể phải có câu trả lời của riêng nó (trừ phi ván cờ quá đơn giản để mang tính bất ngờ). “Nếu P-B5, sau đó Kt-R6; nếu … thì …; nếu … thì …” – hiệu quả của nó sẽ mất đi nếu không có những nhiều những câu trả lời khác nhau. Tất cả những điều này là toán học, và có giá trị của nó; nhưng nó chỉ là “một lời giải bằng cách liệt kê các trường hợp” (và của những trường hợp không khác một cách sâu sắc lắm (*)), điều mà một nhà toán học thực thụ thường không thích.

Tôi vẫn bám vào suy nghĩ rằng tôi có thể làm mạnh hơn lập luận của tôi bằng cách trình bày cảm nghĩ của mình với những người chơi cờ hẳn hoi. Chắc chắn là một kiện tướng cờ, người đã từng chơi những ván cờ và những trận đấu lớn, sẽ khinh miệt một môn nghệ thuật thuần tuý toán học. Anh ta có quan điểm của riêng mình, và có thể trả lời ngay khi được hỏi: “Nếu anh ta đã đi nước này hay nước này, thì tôi đã có thể thắng bằng cách này hay cách này trong đầu”. Nhưng một “ván cờ lớn” hoàn toàn là vấn đề tâm lý, một cuộc tranh chấp giữa một người trong nghề với một người khác, và không chỉ là kết hợp của nhiều định lý toán học nhỏ.

(*) Tôi tin rằng bây giờ một ván cờ được coi là giá trị nếu nó chứa đựng nhiều biến thể cùng một dạng.

Tôi phải quay lại bài giảng ở Oxford, và khảo sát kỹ lưỡng hơn những vấn đề mà tôi đã hoãn lại từ chương 6. Cho tới giờ, rõ ràng là tôi yêu thích toán học như một bộ môn nghệ thuật đầy tính sáng tạo. Nhưng còn những câu hỏi khác cần được xem xét, cụ thể như “tính thiết thực” (hay sự vô dụng) của toán học mà chúng ta còn băn khoăn nhiều về nó. Chúng ta cũng phải suy ngẫm xem toán học có thực sự “vô hại” như tôi đã giả định trong bài giảng ở Oxford hay không.

Một môn khoa học ngay nghệ thuật có thể được cho là “có ích” nếu sự phát triển của nó làm tăng, thậm chí trực tiếp, tiện nghi và vật chất của con người, hay làm tăng niềm hạnh phúc, ở đây hạnh phúc được hiểu theo nghĩa thông thường của nó. Vì thế, y học và sinh lý học là có ích vì chúng làm giảm sự đau đớn, và công việc của các kỹ sư là có ích vì nó giúp chúng ta xây nhà và cầu, do đó làm tăng chất lượng cuộc sống (nghề kỹ sư cũng gây hại nhưng đây không phải là câu hỏi hiện tại). Một phần của toán học cũng có ích theo nghĩa này; các kỹ sư không thể tiến hành công việc mà không có một lượng kiến thức toán học nhất định, và toán học bắt đầu có những ứng dụng ngay cả trong sinh lý học. Vì thế chúng ta có một cơ sở để bảo vệ cho toán học; nó có thể không là tốt nhất, hoặc thậm chí không phải là một điểm mạnh, nhưng nó là điều mà chúng ta phải xem xét. Nhiệm vụ “cao cả” của toán học – cái mà nó có chung với tất cả các môn nghệ thuật sáng tạo – sẽ không liên quan tới sự nghiên cứu của chúng ta. Toán học, giống như thi ca hay âm nhạc, có thể “phát triển và duy trì một trạng thái tột độ về trí tuệ”, và do đó làm tăng niềm hạnh phúc của các nhà toán học và ngay cả của những người khác; nhưng lập luận trên cơ sở này đơn thuần chỉ là làm rõ hơn những gì tôi đã nói. Cái mà chúng ta cần xem xét bây giờ chính là tính thực tiễn “đơn thuần” của toán học.

Tất cả những điều này đều có vẻ rất rõ ràng, nhưng vẫn còn nhiều nhầm lẫn ở đây, vì những ngành “có ích” nhất thường chỉ là những ngành vô ích cho phần lớn trong chúng ta để học. Đúng là cần có một số lượng cần thiết những nhà sinh lý học và những kĩ sư; nhưng sinh lí học và khoa công trình không phải là những môn học có ích cho người bình thường (mặc dù những môn học đó có thể được bảo vệ bằng các luận điểm khác). Về phần tôi, tôi chưa bao giờ cảm thấy bất cứ kiến thức khoa học nào khác ngoài toán thuần túy đã cho tôi một lợi ích nhỏ nhất nào.

Thật ngạc nhiên khi biết rằng các giá trị thực tiễn mà kiến thức khoa học đem lại cho người bình thường nhỏ bé thế nào, rằng những kiến thức có giá trị lại đần độn và tầm thường thế nào, và rằng giá trị của chúng có vẻ hầu như tỷ lệ nghịch với tính thiết thực nổi tiếng của chúng. Những thao tác nhanh về các phép tính số học thông thường (và đó đương nhiên là toán thuần túy) có thể có ích. Tương tự đối với một ít khả năng về ngôn ngữ – tiếng Pháp hoặc tiếng Đức, một ít kiến thức về địa lý, hoặc có thể là kinh tế. Nhưng hóa học, vật lý, hoặc sinh lý học không có một chút giá trị nào trong cuộc sống thường ngày. Chúng ta biết rằng khí đốt sẽ cháy mà không cần biết cấu tạo của chúng; khi xe hư chúng ta có thể đưa ra tiệm sửa chữa; và khi dạ dày bị rối loạn, chúng ta tới bác sĩ hoặc tiệm thuốc. Chúng ta sống nhờ những quy luật nhất định hoặc dựa trên những kiến thức chuyên môn của những người khác.

Tuy nhiên, đây chỉ là một vấn đề phụ, một vấn đề sư phạm, đáng quan tam đối với các ông hiệu trưởng hay khuyên các bậc cha mẹ một cách ầm ĩ về một nền giáo dục “có ích” cho con của họ. Tuy nhiên chúng ta không tính nói, khi chúng ta nói sinh lý học là có ích, rằng đa số phải học sinh lý học, mà rằng sự phát triển của sinh lý học do một số các chuyên gia sẽ giúp đỡ những người còn lại. Những câu hỏi quan trọng đối với chúng ta bây giờ là, toán học có thể khẳng định những lợi ích về mặt này đến bao xa, những ngành toán học nào có thể khẳng định một cách mạnh mẽ nhất, và những ngành toán chuyên sâu nhất, mà có thể hiểu được bởi các nhà toán học, có thể được bảo vệ chỉ dựa trên lý lẽ này.

—

Người dịch: Bùi Mạnh Hùng

Lời xin lỗi của một nhà Toán học[Phần 12]

“Sự tổng quát” là một từ mơ hồ và hơn thế nữa khá nguy hiểm, và chúng ta phải cẩn thận tránh không để nó chi phối cuộc thảo luận của chúng ta quá nhiều. Nó được dùng trong nhiều ngữ cảnh cả trong toán học và những bài viết về toán học, và nói riêng thì một trong số đó đã được các nhà lô gíc đặt một sự quan tâm rất lớn nhưng hoàn toàn không liên quan gì đến những gì chúng ta nói ở đây. Theo nghĩa đơn giản đó thì tất cả các định lý toán học là hoàn toàn “tổng quát” và tổng quát như nhau.

“Sự chính xác của toán học”, nói như Whitehead (*), “phụ thuộc vào sự tổng quát hóa trừu tượng đầy đủ của nó”. Khi chúng ta khẳng định rằng 2 + 3 = 5, chúng ta đang khẳng định một mối quan hệ giữa ba nhóm “đối tượng”; và các “đối tượng” này không phải là những quả táo hay những đồng xu, hay bất kỳ một loại đối tượng riêng biệt nào, mà chỉ đơn giản là các đối tượng, “bất kỳ đối tượng nào”. Ý nghĩa của khẳng định này hoàn toàn phụ thuộc vào các cá thể của các phần tử của các nhóm. Tất cả các “đối tượng”, hay “thực thể”, hay “quan hệ” toán học như “2″, “3″, “5″, “+”, hay “=”, và tất cả các mệnh đề toán học theo thứ tự chúng xuất hiện đều hoàn toàn tổng quát, theo nghĩa hoàn toàn trừu tượng. Thực tế, một trong những từ của Whitehead là không cần thiết, vì sự tổng quát theo nghĩa này chính là sự trừu tượng.

Ý nghĩa này là rất quan trọng, và các nhà lô gíc đã khá đúng khi nhấn mạnh nó, vì nó chứa đựng một chân lý mà nhiều người lẽ ra nên biết lại thường quên mất. Nó khá là phổ biến, ví dụ như, cho một nhà thiên văn học hay một nhà vật lý tuyên bố rằng anh ta đã tìm ra “một chứng minh toán học” rằng vũ trụ phải theo một trạng thái riêng biệt nào đó. Tất cả những khẳng định này, nếu được dịch một cách chính xác, đều hoàn toàn vô nghĩa. Đơn giản là việc chứng minh toán học rằng ngày mai sẽ có nhật thực là không thể, vì nhật thực, hay các hiện tượng vật lý khác, không cấu thành một phần nào của thế giới trừu tượng của toán học; và điều này tôi cho rằng, tất cả các nhà thiên văn sẽ công nhận khi bị hỏi, bất kể bao nhiêu nhật thực mà họ đã dự đoán đúng.

Rõ ràng là chúng ta không quan tâm đến kiểu “tổng quát” như thế này bây giờ. Chúng ta đang tìm kiếm sự khác biệt của tổng quát giữa một định lý toán học với một định lý khác, và theo nghĩa của Whitehead tất cả đều bằng nhau. Do đó các định lý “tầm thường” (a) và (b) của phần 15 chỉ đơn giản “trừu tượng” hay “tổng quát” như những định lý của Euclid và Pythagoras, và cũng như một ván cờ vua. Sẽ không có sự khác biệt nào cho một ván cờ nếu các quân là trắng và đen, hay đỏ và xanh, hay nếu có các “quân cờ” thực sự; nó vẫn là một bài toán giống hệt mà một chuyên gia dễ dàng suy nghĩ trong đầu và chúng ta phải thiết kế lại với nhiều công sức và sự trợ giúp của chiếc bảng đen. Chiếc bảng và các quân cờ chỉ đơn giản là các công cụ để kích thích trí tưởng tượng của chúng ta, và với một bài toán nó không quan trọng như chiếc bảng đen và viên phấn đối với các định lý trong một buổi giảng toán học.

Kiểu tổng quát quen thuộc trong tất cả các định lý toán học này không phải là thứ mà chúng ta kiếm tìm, mà là sự tổng quát tinh tế và khó nắm bắt tôi đã cố miêu tả trong phần 15. Và chúng ta phải cẩn thận không quá nhấn mạnh ngay cả trong sự tổng quát loại này (như tôi nghĩ các nhà lô gíc học như Whitehead thường hay vậy). Những thành tựu tiêu biểu của toán học hiện đại không chỉ đơn giản là “chất đống những sự tổng quát này một cách tinh tế trên những sự tổng quát khác ” (**). Một ít sự tổng quát phải xuất hiện trong bất cứ một định lý kinh điển nào, nhưng quá nhiều sẽ dẫn đến sự vô vị một cách không tránh khỏi. “Mọi vật chỉ đơn giản là nó, và không phải là một vật khác”, và sự khác biệt giữa các sự vật cũng thú vị như sự giống nhau của chúng. Chúng ta không chọn bạn bè bởi vì họ hội tụ đủ các phẩm chất tốt đẹp của con người, mà bởi họ là những người của chính họ. Và trong toán học cũng vậy; một tính chất phổ biến với quá nhiều đối tượng khó có thể còn tính hấp dẫn, và các ý tưởng toán học cũng trở nên lờ mờ trừ phi chúng có rất nhiều cá thể riêng biệt. Ở đây dù sao tôi cũng có thể trích dẫn Whitehead về phía tôi: “một sự thai nghén thành công là sự tổng quát hóa rộng, nhưng giới hạn bởi một cá thể”. (***)

(*) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 33
(**) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 44
(***) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 46

Tính chất thứ hai mà tôi đòi hỏi trong một ý tưởng quan trọng là chiều sâu, và tính chất này càng khó định nghĩa hơn. Nó liên hệ với độ khó theo một cách nào đó; ý tưởng càng “sâu” càng khó tiếp nhận hơn: nhưng chúng không hoàn toàn giống nhau. Ý tưởng ẩn dưới định lý Pythagoras và những hướng tổng quát của nó khá sâu, nhưng không một nhà toán học thời nay nào lại xem chúng là khó. Mặt khác, một định lý có thể nông cạn về bản chất nhưng lại rất khó chứng minh (ví dụ như những định lý Diophante về lời giải của các phương trình nghiệm nguyên).

Dường như các ý tưởng toán học được sắp xếp theo nhiều tầng, trong mỗi tầng, các ý tưởng được liên kết với nhau bằng những quan hệ phức tạp giữa chúng và với các ý tưởng ở tầng khác. Càng ở tầng thấp hơn, các ý tưởng càng sâu hơn (và thông thường, càng khó hơn). Do đó, ý tưởng về “số vô tỷ” sâu hơn ý tưởng về số nguyên; và định lý Pythagoras vì thế mà sâu hơn định lý Euclid.

Chúng ta hãy chú ý tới mối quan hệ giữa các số nguyên, hay một nhóm các đối tượng nằm trong một tầng nào đó. Khi ấy một trong những liên hệ có thể được hiểu hoàn toàn, chúng ta có thể nhận ra và chứng minh, chẳng hạn như, một tính chất nào đó của số nguyên, mà không cần dùng tới nội dung của tầng bên dưới. Do đó chúng ta chứng minh định lý Euclid mà chỉ dùng các tính chất của số nguyên. Nhưng còn nhiều định lý về số nguyên mà chúng ta không thể hiểu được hay chứng minh được hoàn toàn mà không cần đào sâu hơn và xem xét những gì xảy ra bên dưới.

Chúng ta có thể dễ dàng tìm các ví dụ trong lý thuyết về số nguyên tố. Định lý Euclid rất quan trọng, nhưng không sâu: chúng ta có thể chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố mà không cần dùng khái niệm nào sâu hơn “tính chia hết”. Nhưng những câu hỏi mới lại xuất hiện khi chúng ta tìm ra câu trả lời trước. Có vô số số nguyên tố, nhưng chúng được phân bố vô hạn như thế nào? Cho một số N rất lớn, ví dụ 10^80 hay 10^{10^10} (1), có bao nhiêu số nguyên tố bé hơn N (2)? Khi đặt ra những câu hỏi này, chúng ta đã đặt chúng ta ở một vị trí hoàn toàn khác. Chúng ta có thể trả lời chúng, với một độ chính xác đáng ngạc nhiên, nhưng bằng cách đào thật sâu bên dưới, để lại các số nguyên bên trên và sử dụng những vũ khí mạnh nhất trong lý thuyết hiện đại về hàm số. Do đó định lý trả lời những câu hỏi của chúng ta (được gọi là “Định lý số nguyên tố”) là một định lý sâu hơn rất nhiều so với Pythagoras và Euclid.

Tôi có thể làm tăng thêm các ví dụ, nhưng khái niệm về “chiều sâu” rất khó nắm bắt, ngay cả đối với một nhà toán học đã nhận ra nó, và tôi không nghĩ rằng tôi có thể nói gì hơn nữa để giúp bạn đọc hiểu hơn.

(1) Người ta cho rằng số proton trong vũ trụ là khoảng 10^80. Số 10^{10^10} nếu viết ra sẽ chiếm khoảng 50,000 cuốn sách kích cỡ trung bình.
(2) Như tôi đã nói trong chương 14, có khoảng 50,847,478 số nguyên tố nhỏ hơn 1,000,000,000; nhưng đây là mức xa nhất mà chúng ta có thể biết chính xác.

–

Người dịch: Bùi Mạnh Hùng

Lời xin lỗi của một nhà Toán học[Phần 11]

Trước hết, sự thống trị của các định lý toán học trong tính nghiêm túc là hiển nhiên và quá lớn lao. Một thế cờ là tổng hợp của các bước đi thông minh nhưng rất hạn chế trong độ phức tạp của ý tưởng, về cơ bản chúng thường không khác nhau là mấy và không có ảnh hưởng gì bên ngoài. Chúng ta có thể đặt trong trường hợp như cờ vua chưa bao giờ được khám phá ra, trong khi đó các định lý của Euclid và Pythagoras đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến cách suy nghĩ, thậm chí cả bên ngoài toán học.

Cũng như vậy định lý của Euclid là thiết yếu cho toàn bộ cấu trúc của số học. Số nguyên tố là những yếu tố cơ bản từ đó chúng ta xây dựng nên lý thuyết số, và định lý Euclid đảm bảo rằng chúng ta có vô số các yếu tố cơ bản để làm việc đó. Nhưng định lý của Pythagoras còn có ứng dụng rộng lớn hơn và cung cấp một kết quả tốt hơn.

Đầu tiên chúng ta nên thấy rằng lập luận của Pythagoras có thể mở rộng ra xa hơn nữa, và có thể được áp dụng, với rất ít thay đổi về nguyên tắc, cho một lớp lớn các số “vô tỷ”. Chúng ta có thể chứng minh một cách tương tự rằng (như Theodorus có lẽ đã làm)
√‾3, √‾5, √‾7, √‾11, √‾13, √‾17
là vô tỷ, hay (đi xa hơn so với Theodorus) rằng 3√‾2, 3√‾17 cũng là vô tỷ (*).

Định lý Euclid cho chúng ta biết rằng chúng ta có những yếu tố cơ bản để xây dựng nên một hệ thống chặt chẽ các số nguyên. Định lý Pythagoras và những mở rộng của nó còn chứng tỏ rằng khi ta đã cấu tạo nên hệ thống số này, điều đó vẫn còn chưa đủ, vì vẫn còn rất nhiều độ dài buộc chúng ta phải chú ý vì chúng không thể đo được; đường chéo của một hình vuông là một ví dụ rõ ràng nhất. Sự quan trọng sâu sắc của phát hiện này đã được nhận ra bởi các nhà toán học Hy Lạp. Họ đã bắt đầu bằng cách giả sử (thêm vào đó, tôi cho rằng, là ảnh hưởng “tự nhiên” của “trực quan”) tất cả các độ dài cùng đơn vị đều có thể đo được, rằng bất cứ hai độ dài nào cũng là bội số của một đơn vị chung, và họ đã xây dựng một lý thuyết về tỷ lệ dựa trên giả định này. Phát hiện của Pythagoras đã chỉ ra sự vô lý của cơ sở này, và dẫn tới việc xây dựng một lý thuyết sâu sắc hơn của Eudoxus, được nêu ra trong cuốn thứ năm của bộ Elements, bộ sách được các nhà toán học đánh giá là thành tựu vĩ đại nhất của nền toán học Hy Lạp. Lý thuyết này chứa đựng một tư tưởng hiện đại đáng ngạc nhiên, và có thể được xem như sự khởi đầu của lý thuyết hiện đại về các số vô tỷ, điều này đã tạo ra một cuộc cách mạng cho giải tích toán học, và có nhiều ảnh hưởng hơn đến nền triết học hiện tại.

Không còn nghi ngờ gì về tính “nghiêm túc” của hai định lý trên. Do đó tốt hơn là ta chú ý rằng không có định lý nào trong chúng có một ý nghĩa thực tiễn dù nhỏ nhất. Trong các ứng dụng thực tiễn chúng ta chỉ quan tâm tới các số nhỏ vừa phải; chỉ có ngành thiên văn học nghiên cứu các vì sao và vật lý nguyên tử liên quan tới các số “lớn”, và chúng có rất ít ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn nào khác ngoại trừ trong toán học trừu tượng thuần túy nhất. Tôi không biết độ chính xác cao nhất mà một kỹ sư cho là cần thiết – chúng ta sẽ rất hào phóng nếu đưa ra mười chữ số quan trọng. Khi đó
3,14159265
(giá trị của Pi với tám chữ số thập phân) là tỷ số
314159265 / 1000000000
của hai số với mười chữ số. Số các số nguyên tố bé hơn 1.000.000.000 là 50.847.478: điều này là đủ đối với một kỹ sư và anh ta hoàn toàn hạnh phúc với chúng mà không cần những con số còn lại. Định lý Euclid là dư thừa; và đối với định lý Pythagoras, rõ ràng là các số vô tỷ đều không hấp dẫn đối với một kỹ sư, vì anh ta chỉ quan tâm tới các xấp xỉ, mà các xấp xỉ đều là số hữu tỷ.

(*) Xem chương IV cuốn “Introduction to the Theory of Numbers” của Hardy và Wright, về những bàn luận các hướng tổng quát khác nhau trong lý luận của Pythagoras, và một câu hỏi lịch sử về Theodorus.

Một định lý “nghiêm túc” là một định lý chứa đựng các ý tưởng “quan trọng”, và tôi cho rằng tôi cần phân tích kỹ hơn những đặc tính làm cho một ý tưởng toán học trở nên quan trọng. Điều này rất khó, và không chắc rằng tôi có thể đưa ra một sự phân tích nào thật sự có giá trị. Chúng ta có thể nhận ra một ý tưởng “quan trọng” khi chúng ta thấy nó, cũng như chúng đã xuất hiện trong hai định lý mà tôi đã đưa ra; nhưng khả năng nhận biết này đòi hỏi một mức độ phức tạp cao, và sự quen thuộc với các ý tưởng toán học mà chỉ đến sau nhiều năm nghiên cứu. Vì thế tôi phải thử nghiệm một cách phân tích nào đó; và dù không đầy đủ, nó phải hợp lý và dễ hiểu khi được đưa ra. Có hai tính chất mà lúc nào cũng cần thiết, một mức độ tổng quát và một độ sâu nhất định; nhưng không đặc tính nào có thể được định nghĩa chính xác hoàn toàn một cách dễ dàng.

Một ý tưởng toán học quan trọng, một định lý toán học nghiêm túc phải “tổng quát” theo nghĩa sau. Ý tưởng phải là sự hợp thành từ nhiều cấu trúc toán học và được dùng trong các chứng minh của nhiều loại định lý khác nhau. Định lý dù ban đầu được phát biểu (như định lý Pythagoras) theo một dạng khá đặc biệt, nhưng phải có khả năng mở rộng đáng kể và tiêu biểu cho một lớp các định lý cùng loại. Mối tương quan thể hiện qua định lý phải kết nối nhiều ý tưởng toán học quan trọng. Tất cả các điều trên đều không rõ ràng và tùy thuộc vào nhiều yếu tố định trước. Nhưng chúng đủ dễ dàng để nhận ra một định lý không hẳn là nghiêm túc khi nó thiếu các đặc tính trên một cách rõ ràng; chúng ta chỉ cần lấy ra một số ví dụ từ các tính chất đặc biệt trong số học. Tôi đưa ra hai ví dụ, hầu như ngẫu nhiên, từ cuốn Giải trí Toán học của Rouse Ball *.

(a) 8712 và 9801 là hai số có bốn chữ số duy nhất mà là bội số của các “số đảo ngược” của chính chúng.
8712 = 4 . 2178, 9801 = 9 . 1089,
và không còn số nào khác bé hơn 10,000 có tính chất này.

(b) Chỉ có bốn số bằng tổng của lập phương các chữ số của chúng, đó là
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3, 370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3, 407 = 4^3 + 0^3 + 7^3

Đó là những sự thật lạ kỳ, rất thích hợp cho các câu đố toán học và hấp dẫn những người nghiệp dư, nhưng chúng không có gì để lôi cuốn một nhà toán học. Chứng minh không khó hay thú vị – chỉ đơn thuần là một chút mệt nhọc. Định lý không nghiêm túc; và có lẽ một lý do (dù không hẳn là quan trọng nhất) là tính đặc biệt quá mức của cả đề bài lẫn chứng minh, mà điều này không thể tạo ra một sự tổng quát quan trọng nào.

* Ấn bản thứ 11, 1939 (sửa chữa bởi H.S.M. Coxeter)

—

Người dịch: Bùi Mạnh Hùng

Lời xin lỗi của một nhà Toán học[Phần 10]

Ví dụ thứ hai của tôi là chứng minh của Pythagores về “tính vô tỷ” của √‾2.

Một “số hữu tỷ” là một phân số có dạng a/b, trong đó a, b là những số nguyên; chúng ta có thể giả sử a, b không có ước số chung, vì nếu có thì ta có thể giản ước nó. Nói “√‾2 là một số vô tỷ” đơn thuần là một cách diễn đạt khác tương đương với “2 không thể biểu diễn dưới dạng (a/b)^2”; và điều này cũng có nghĩa là phương trình
(B) a^2 = 2b^2
không thể thỏa mãn với các giá trị nguyên của a và b mà không có ước số chung nào. Đây là một định lý của số học thuần túy mà không đòi hỏi bất kì kiến thức nào về các “số vô tỷ” hay một lý thuyết nào về bản chất của chúng.

Chúng ta lại lý luận bằng phương pháp phản chứng; chúng ta giả sử rằng (B) có nghiệm, với a và b là các số nguyên không có ước số chung. Từ (B) có thể suy ra a^2 là số chẵn (vì 2b^2 chia hết cho 2), và do đó a là số chẵn (vì bình phương của một số lẻ là số lẻ). Vì a là số chẵn nên
(C) a = 2c
với c là một số nguyên; và do đó
2b^2 = a^2 = (2c)^2 = 4c^2
hay
(D) b^2 = 2c^2
Suy ra b^2 là số chẵn, cho nên (cùng một lý do như trên) b là số chẵn. Ta có thể nói a và b cùng là số chẵn, và vì thế có cùng ước số chung 2. Điều này trái với giả định của chúng ta, do đó giả định trên là sai.

Từ định lý Pythagoras ta suy ra đường chéo của một hình vuông không thể so sánh với cạnh của chính nó (tỷ lệ độ dài của chúng không phải là số hữu tỷ, không có độ dài nào là bội số chung của cả hai độ dài trên). Vì nếu ta cho độ dài của cạnh bằng một đơn vị, thì độ dài của đường chéo là d, theo một công thức rất quen thuộc, cũng của Pythagoras*,
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2,
do đó d không thể là số hữu tỷ.

Tôi có thể đưa ra bất kỳ một số lượng nào về các định lý đẹp trong lý thuyết số mà mọi người có thể hiểu ý nghĩa của chúng. Ví dụ, có một định lý được gọi là “định lý cơ bản của số học” phát biểu rằng bất kỳ số nguyên nào đều có thể phân tích, bằng một cách duy nhất, thành tích của các số nguyên tố. Do đó 666 = 2.3.3.37, và không có cách phân tích nào khác; không thể là 666 = 2.11.19 hay 13.89 = 17.73 (và chúng ta có thể thấy điều này mà không cần tính các tích trên). Định lý này, như tên gọi của nó, là cơ sở của số học cao cấp hơn, nhưng chứng minh, dù không “khó”, đòi hỏi một số lượng kiến thức dẫn nhập nhất định và có thể làm mệt mỏi những độc giả không chuyên.

Một định lý đẹp và nổi tiếng khác là định lý “hai số chính phương” của Fermat. Các số nguyên tố (nếu chúng ta bỏ qua số nguyên tố đặc biệt 2) đều có thể được sắp xếp thành 2 nhóm; các số nguyên tố
5, 13, 17, 29, 41, …
khi chia 4 cho số dư là 1, và các số nguyên tố
3, 7, 11, 19, 23, 31, …
khi chia 4 cho số dư là 3. Tất cả các số nguyên tố trong nhóm đầu tiên, và không có số nguyên tố nào trong nhóm thứ hai, có thể biểu diễn dưới dạng tổng của bình phương của 2 số nguyên: do đó
5 = 1^2 + 2^2, 13 = 2^2 + 3^2,
17 = 1^2 + 4^2, 29 = 2^2 + 5^2;
nhưng 3, 7, 11, và 19 đều không thể biểu diễn theo cách này (độc giả có thể tự kiểm chứng dễ dàng). Đây là định lý của Fermat mà có thể được đáng giá một cách rất thỏa đáng là một trong những định lý đẹp nhất của số học. Tiếc rằng không có chứng minh nào có thể hiểu được bởi những người không phải là các nhà toán học chuyên nghiệp.

Còn có những định lý đẹp khác trong “lý thuyết tập hợp” (Mengenlehre) như định lý Cantor về “tính không đếm được” của lực lượng continuum. Chứng minh trở nên dễ dàng một khi ngôn ngữ được nắm vững, nhưng một số lượng giải thích đáng kể trở nên cần thiết trước khi ý nghĩa của định lý trở nên rõ ràng. Vì thế tôi sẽ không cố gắng đưa thêm các ví dụ khác. Những định lý tôi đã dẫn chứng là những trường hợp tiêu biểu, và một độc giả nào không hiểu rõ giá trị của chúng thì sẽ không thể đánh giá đúng về bất kỳ điều gì trong toán học.

Tôi từng nói rằng nhà toán học là người vẽ nên các khuôn mẫu của ý tưởng, vẻ đẹp và tầm quan trọng là những tiêu chuẩn mà dựa trên đó những khuôn mẫu được đánh giá, tôi khó có thể tin là bất kỳ một ai hiểu được hai định lý trên lại có thể phản đối rằng chúng thỏa mãn những tính chất này. Nếu chúng ta so sánh chúng với những câu đố tinh xảo nhất của Dudeney, hay những ván cờ đẹp nhất mà những bậc thầy của nghệ thuật đó đã tạo ra, sự ưu việt trong cả hai tính tính chất đều nổi trội lên: có một sự khác biệt không thể nhầm lẫn được về đẳng cấp. Chúng quan trọng hơn, và cũng đẹp hơn; liệu chúng ta có thể định nghĩa, một cách chính xác hơn, vị trí của sự ưu việt đó?

—

Người dịch: Bùi Mạnh Hùng

Lời xin lỗi của một nhà Toán học[Phần 9]

Một thế cờ là một bài toán thuần túy, nhưng về một mặt nào đó nó là một bài toán “tầm thường”. Bất kể có tinh xảo và rắc rối đến đâu, bất kể những bước đi là nguyên thủy và bất ngờ đến như thế nào, nó vẫn thiếu một yếu tố quan trọng. Các thế cờ “không quan trọng”. Toán học thuần túy vừa phải đòi hỏi nhiều suy nghĩ vừa phải đẹp – hay có thể nói là “quan trọng” nếu anh muốn, nhưng từ đó rất mơ hồ ở đây, và “đòi hỏi nhiều suy nghĩ” diễn tả nhiều hơn điều tôi muốn nói.

Tôi không nghĩ về những lợi ích “thực tế” của toán học bây giờ. Tôi phải quay lại quan điểm này sau: hiện tại tôi sẽ chỉ nói rằng nếu một thế cờ, theo nghĩa nguyên sơ nhất, là “vô dụng”, thì điều đó cũng đúng cho hầu hết những cái đẹp đẽ nhất của toán học; vì chỉ một phần rất nhỏ của toán học là có ý nghĩa thực tế, và cái phần rất nhỏ đó có thể hoàn toàn coi như là vô nghĩa. Sự “quan trọng” của một định lý toán học không nằm ở trong những kết quả thực tế, điều mà nó thường không đáng kể, mà là ở tầm quan trọng của những ý tưởng toán học nó có thể kết nối. Chúng ta có thể nói một cách đại khái là một định lý toán học là “đáng chú ý” nếu nó có thể được liên kết, một cách rất tự nhiên và đẹp đẽ, với một khối lượng lớn các ý tưởng toán học khác. Do đó một định lý đáng chú ý, định lý mà liên hệ được với các ý tưởng lớn, thường có nhiều khả năng dẫn đến những bước đột phá quan trọng trong bản thân toán học và thậm chí cả trong những ngành khoa học khác. Không có một thế cờ nào gây ảnh hưởng đến sự phát triển nói chung của những ý tưởng khoa học; trong khi đó Pythagoras, Newton, Einstein đã thay đổi cả hướng phát triển của nó.

Sự quan trọng của toán học tất nhiên không nằm trong kết quả của nó, điều đó chỉ là bằng chứng của tầm quan trọng. Shakespeare có một ảnh hưởng to lớn trong sự phát triển của nền văn học Anh, Otway không sau một ai khác, nhưng đó không phải là lý do tại sao Shakespeare là một nhà thơ lớn hơn. Ông giỏi hơn là vì ông viết những bài thơ kiệt tác hơn. Sự kém hơn của một thế cờ, cũng như thơ của Otway, không phải trong kết quả của nó mà là trong nội dung.

Có một điểm nữa mà tôi sẽ bỏ qua rất nhanh, không phải vì nó không thú vị mà bởi vì nó rất khó, và vì tôi không có một tư cách nào để thảo luận một cách nghiêm túc về vấn đề thẩm mỹ. Vẻ đẹp của một định lý toán học phụ thuộc rất nhiều vào tầm quan trọng của nó, như ngay cả trong thơ ca, vẻ đẹp của một vần thơ có thể tùy thuộc vào những hình ảnh, ý tưởng mà nó chứa đựng. Tôi đã trích dẫn hai câu thơ của Shakespeare như là một ví dụ về một kiểu mẫu đẹp; nhưng
Anh ngủ ngon sau những cơn sốt dài của cuộc sống

Có vẻ như còn đẹp hơn. Kiểu mẫu cũng hay như vậy, nhưng trong ví dụ này các hình ảnh của nó có ý nghĩa và nghe lọt tai hơn, do đó tình cảm của chúng ta được khuấy động sâu hơn. Ý tưởng có ảnh hưởng đến kiểu mẫu, thậm chí cả trong thơ ca, và một cách tự nhiên còn nhiều hơn thế trong toán học; nhưng tôi sẽ không cố gắng tranh cãi vấn đề một cách chặt chẽ hơn.

Bây giờ rõ ràng là, nếu như chúng ta muốn đi xa hơn nữa, tôi phải đưa ra những ví dụ cụ thể của các định lý toán học “thực thụ”, các định lý mà tất cả các nhà toán học sẽ đều phải thừa nhận là hạng nhất. Và ở đây tôi thấy khá khó khăn do sự hạn chế của những gì tôi đang viết. Về một mặt, các ví dụ của tôi phải rất đơn giản, và hiểu được với một người đọc thậm chí không hề có kiến thức chuyên môn về toán; không có một lời giải thích nào được yêu cầu trước; và một người đọc bất kỳ phải có thể theo dõi lời giải cũng như đề bài. Những điều kiện này đã loại bỏ rất nhiều những định lý đẹp nhất của lý thuyết số như định lý “hai số chính phương” của Fermat hay luật nghịch đảo tương hỗ của Gauss. Mặt khác, các ví dụ của tôi phải được đưa ra từ toán học “thực thụ”, thứ toán học của những người làm toán chuyên nghiệp; và điều kiện này loại trừ những định lý tương đối khá dễ dàng và dễ hiểu nhưng liên quan đến logic và triết học.Tôi khó có thể làm gì tốt hơn là quay về với những người Hy Lạp. Tôi sẽ phát biểu và chứng minh hai định lý nổi tiếng của toán học Hy Lạp. Đó là các định lý “đơn giản”, đơn giản ngay cả trong ý tưởng và cách lập luận, nhưng không hề có nghi ngờ nào rằng chúng là các định lý đẹp. Mỗi định lý đều còn mới mẻ và quan trọng như khi chúng mới được tìm ra – hai nghìn năm vẫn chưa viết nên một nếp nhăn nào trên chúng. Và cuối cùng, cả hai mệnh đề và lời giải đều có thể hiểu được trong vòng một giờ bởi bất kỳ một người đọc thông minh nào, bất kể trang bị toán học của anh ta có ít đến đâu.

I. Định lý đầu tiên là chứng minh của Euclid(*) về tồn tại vô hạn số nguyên tố.

Các số nguyên tố là các số
(A) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
mà không thể viết thành tích của các thừa số (**) nhỏ hơn. Do đó 37 và 317 là nguyên tố. Số nguyên tố là nền tảng tạo thành tất cả các số bởi phép nhân: ví dụ 666 = 2.3.3.37. Mọi số không nguyên tố đều chia hết cho ít nhất một số nguyên tố (tất nhiên thường là nhiều hơn một). Chúng ta phải chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố, có nghĩa là dãy số (A) không bao giờ kết thúc.

Chúng ta hãy giả sử rằng (A) sẽ kết thúc, và
2, 3, 5, …, P
là toàn bộ dãy số (do đó P là số nguyên tố lớn nhất); và ta, với giả thuyết này, hãy xem xét số Q xác định bởi công thức
Q = (2.3.5…P) + 1.

Đơn giản thấy rằng Q không chia hết cho 2, 3, 5, …, P; bởi vì nó đều cho số dư là 1 khi chia cho bất cứ số nào trong dãy. Nhưng nếu nó không phải là nguyên tố, nó phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, và do vậy có một số nguyên tố (cũng có thể là chính Q) lớn hơn các số trong dãy. Điều này mâu thuẫn với giả sử của chúng ta rằng không có số nguyên tố nào lớn hơn P; và do vậy giả thuyết này là sai.

Chứng minh này dùng phương pháp phản chứng, một phương pháp mà Euclid rất thích và cũng là một trong những vũ khí đẹp nhất của toán học(***). Nó là một nước đi đẹp hơn nhiều so với bất cứ một nước cờ thí nào: một người chơi cờ có thể chịu hy sinh, thí một quân tốt hay một quân cờ, nhưng một nhà toán học thì thí cả ván cờ.

(*)Elements IX 20. Nguồn gốc thực sự của rất nhiều định lý trong cuốn Elements khá mù mịt, nhưng dường như không có lý do nào để cho rằng định lý này không phải của Euclid.
(**) Có những lý do kỹ thuật cho việc không tính 1 là một số nguyên tố.
(***) Lời giải có thể được sắp xếp sao cho không cần dùng đến phương pháp phản chứng, và các nhà logic học của một số trường phái thường thích như vậy.

—

Người dịch: Bùi Mạnh Hùng

Lời xin lỗi của một nhà Toán học[Phần 8]

Một nhà toán học, cũng như một họa sỹ hay một nhà thơ, là người tạo ra những kiểu mẫu. Nếu như kiểu mẫu của anh ta tồn tại được lâu hơn so với những người khác, đó là vì chúng được tạo ra bởi những ý tưởng. Một nhà danh họa tạo phong cách bằng các hình khối và màu sắc, một nhà thơ thì dùng ngôn ngữ. Một bức tranh có thể mang một “ý tưởng”, nhưng ý tưởng đó thường rất là chung và không quá quan trọng. Trong thơ ca, có thể ý tưởng sẽ đóng góp một phần quan trọng hơn; nhưng, như Housman luôn luôn khẳng định, sự quan trọng của ý tưởng trong thơ ca thường hay được hư cấu hóa lên: ‘Tôi không thể tự đồng ý với chính mình rằng có cái gì đấy gọi là ý tưởng thơ ca… Thơ ca không phải là về những thứ được nhắc đến, mà là cách diễn tả nó.’

Tất cả những giọt nước của một đại dương dữ dội nhất
Cũng không thể rửa hết được hương thơm của đức vua.

Liệu những dòng thơ trên có thể tốt hơn, và liệu những ý tưởng có thể lặp lại một cách nhàm chán? Sự nghèo nàn của ý tưởng dường như không hề ảnh hưởng đến vẻ đẹp của ngôn ngữ. Một nhà toán học, trái lại, không có một thứ gì để làm cùng ngoại trừ ý tưởng, và do đó những kiểu mẫu của anh ta có khả năng kéo dài lâu hơn, vì ý tưởng thường khoác chiếc áo thời gian ít hơn ngôn ngữ.

Kiểu mẫu của một nhà toán học, như những gì của một danh họa hay một nhà thơ, phải đẹp; ý tưởng, giống như màu sắc hay ngôn từ, phải đi với nhau một cách rất điều hòa. Đẹp là một thử thách đầu tiên: không có một chỗ nào lâu dài cho những kết quả toán học thô kệch. Và ở đây, tôi phải giải thích cho một sự nhầm lẫn mà đến bây giờ vẫn còn khá phổ biến (dù cũng không còn nhiều như nó đã 20 năm trước), cái mà Whitehead đã gọi là “mê tín dị đoan”, đó là tình yêu và sự nhận thức có thẩm mỹ cho toán học là “một độc tưởng chỉ áp dụng cho một vài con người lập dỵ ở mỗi một thế hệ”.

Quả thật sẽ là khó để tìm được một con người có giáo dục thực sự chuyên sâu, quan tâm đến sự quyến rũ thẩm mỹ của toán học bây giờ. Có lẽ cũng hơi khó để có thể định nghĩa vẻ đẹp toán học, nhưng nó cũng đúng như vẻ đẹp của bất cứ một cái gì khác – chúng ta có thể không biết rõ cái mà chúng ta vẫn cho là một bài thơ đẹp, nhưng điều đó cũng không thể làm chúng ta không nhận ra khi chúng ta đọc chúng. Ngay cả giáo sư Hogben, người đã cho rằng sự quan trọng của vẻ đẹp toán học là rất ít, cũng không dám mạo hiểm để phủ nhận thực tế của nó. “Chắc chắn là vẫn có những người mà những bài toán là một sự hấp dẫn không liên quan đến riêng ai… sức lôi cuốn về thẩm mỹ của toán học có thể là đúng cho một số người”. Nhưng chỉ có một số ít, ông cho như vậy, và họ hờ hững với thế giới xung quanh (và đó thực sự là những con người lố bịch, sống thu gọn trong những ngôi trường đại học nhỏ bé ngớ ngẩn, xa rời với những cơn gió mát lành của vũ trụ). Ở đây ông ta đã lặp lại từ “mê tín dị đoan” của Whitehead.

Sự thật là có một số môn “phổ biến” hơn toán học. Hầu hết mọi người đều coi trọng toán học, cũng như hầu hết mọi người có thể thích một điệu nhạc dễ nghe; và có thể có nhiều người thực sự quan tâm đến toán học hơn là đến âm nhạc. Nhìn qua thì có vẻ ngược lại, nhưng có những lời giải thích khá đơn giản. Âm nhạc có thể được dùng để làm tinh thần hứng thú, trong khi đó toán học thì không; và việc không có năng khiếu âm nhạc được cho (chắc chắn là) một điều bình thường, trong khi đó hầu hết mọi người đều sợ cái từ toán học đến nỗi họ sẵn sàng, một cách tự nhiên, phóng đại sự yếu kém của mình trong toán học.

Một sự tương phản nhỏ cũng để cho thấy sự không hợp lý của cái gọi là “mê tín dị đoan”. Có vô số người chơi cờ ở các nước văn minh – ở Nga, hầu hết tất cả những người được đi học; và mỗi người chơi cờ đều có thể nhận ra và thán phục một thế cờ hay một ván cờ “đẹp”. Nhưng một thế cờ chỉ đơn giản là một bài tập của toán lý thuyết (một ván cờ thì cũng không hoàn toàn, vì tâm lý cũng có một phần khá quan trọng), và những người cho một thế cờ là “đẹp” chính là đang vỗ tay cho vẻ đẹp của toán học, mặc dù nó chỉ đẹp ở một nghĩa tương đối khá là hẹp. Những thế cờ là những giai điệu của toán học.

Chúng ta có thể thấy các ví dụ tương tự, ở các bậc thấp hơn nhưng rõ hơn với số đông công chúng, từ trò chơi bài bridge, hay thấp hơn nữa, từ những câu đố của nhùng tờ báo quen thuộc. Hầu hết sự phổ biến sâu rộng của chúng là một sự tán thưởng cho sức quyến rũ của một thứ toán học rất thô sơ, và những người chuyên nghĩ ra câu đố, như Dudeney hay “Caliban” dùng rất ít các thứ khác. Họ biết rõ công việc của mình; điều mà công chúng muốn là một sự lôi cuốn trí tuệ, và không có cái gì khác như vậy như là sự lôi cuốn của toán học.

Tôi có thể thêm rằng không có gì trên thế giới này có thể làm hài lòng thậm chí cả những người nổi tiếng (và cả những người đã dùng những ngôn ngữ chê bai toán học) đến mức như là khám phá, hay khám há lại, một định lý toán học thực sự. Herbert Spencer đăng trong bản tự truyện của mình một định lý ông ta chứng minh khi mới 20 tuổi (mà không biết rằng nó đã được chứng minh các đây hơn 2000 năm trước thời Plato). Giáo sư Soddy là một ví dụ gần đây và hấp dẫn hơn (nhưng định lý đó thực sự là của ông)*.

* Xem bài viết trong “Hexlet” trên tạp chí Nature, tập 137-9 (1936-7)

—

Người dịch: Bùi Mạnh Hùng

Lời xin lỗi của một nhà Toán học[Phần 7]

Nếu sự tò mò trí tuệ, sự kiêu hãnh trong nghề và tham vọng là động lực chính thúc đẩy đến nghiên cứu, thì chắc chắn không ai có nhiều cơ hội để giải thích hơn một nhà toán học. Môn của anh ta là đáng tìm hiểu hơn cả- không có điều gì mà chân lý có thể đùa cợt được. Nó chứa đựng những công cụ trau chuốt, tỉ mỉ và quyến rũ, và mang đến những cơ hội không gì sánh được cho việc thể hiện tài năng của con người. Và cuối cùng, lịch sử đã cho thấy, những thành tựu toán học, bất kể giá trị bên trong của nó là thế nào, là những thứ tồn tại lâu dài và vĩnh cửu nhất.

Chúng ta có thể thấy điều này ngay cả ở những nền văn minh trung sử (?). Nền văn minh Babylon và Assyrian đã bị hủy diệt; Hammurabi, Sargon và Nebuchadnezzar là những cái tên vô nghĩa; mặc dù vậy toán học thời Babylon vẫn còn được quan tâm, và hệ thống chia độ trên 60 của người Babylon vẫn còn được dùng trong thiên văn học. Nhưng tất nhiên, ví dụ quan trọng nhất là của người Hy Lạp.

Những người Hy Lạp là những nhà toán học đầu tiên vẫn còn “sống” với chúng ta ngày nay. Toán học phương đông có thể cũng là một điều thú vị nhưng toán học của người Hy Lạp là một cái gì đó thực sự. Người Hy Lạp là những người đầu tiên nói thứ ngôn ngữ mà những nhà toán học hiện đại vẫn có thể hiểu; như Littlewood đã có lần nói với tôi, họ không phải chỉ là những cậu bé thông minh ở trường học, cũng không phải là những sinh viên đáng được nhận học bổng, mà là “những thành viên của một học viện khác”. Do đó toán học Hy Lạp là “vĩnh cửu”, lâu dài hơn cả văn học Hy Lạp. Archimedes (Ácsimét) sẽ còn được nhớ đến trong khi Aeschylus bị quên lãng, bởi vì ngôn ngữ thì chết đi nhưng những ý tưởng toán học thì không. “Bất tử” có thể là một từ lố bịch, nhưng có lẽ một nhà toán học có nhiều cơ hội nhất cho bất kể điều gì nó có thể có nghĩa.

Anh ta cũng không phải sợ tương lai sẽ không công bằng với mình. Bất tử đôi khi cũng buồn cười và tàn nhẫn: một số người trong chúng ta có thể đã chọn là Og, Ananias hay Gallio. Ngay cả trong toán học, đôi khi lịch sử cũng bị nhẫm lẫn; Rolle xuất hiện trong các sách toán giải tích như là một nhà toán học ngang hàng với Newton; Farey vẫn sống mãi vì không thể hiểu một định lý Haros đã chứng minh mười bốn năm trước đó; tên của năm người Na Uy đáng quý vẫn được nhắc đến trong cuộc đời của Abel, chỉ vì những hành động ngu đần của họ mà con người vĩ đại của đất nước đã phải trả giá. Nhưng nhìn tổng thể thì lịch sử thường công bằng, và điều này nói riêng thường đúng trong toán học. Không có một ngành khoa học nào có những tiêu chuẩn rõ ràng, được chấp nhận rộng rãi, và những con người được nhớ đến hầu như luôn luôn là những người xứng đáng với nó. Danh tiếng của toán học, nếu như anh có đủ tiền để trả cho nó, là một trong những sự đầu tư có cơ sở và vững vàng nhất.

Tất cả những điều đã nói rất thỏa mãn với những nhà học giả ưu tú, và đặc biệt cho những giáo sư toán học. Mọi người, luật sư hay chính khách hay những nhà doanh nghiệp, vẫn cho rằng một nghề dính dáng đến lý thuyết trừu tượng thường chủ yếu là dành cho những con người thận trọng và không tham vọng, những người chỉ quan tâm chủ yếu đến sự an nhàn và bảo đảm của chính mình. Sự chỉ trích thực ra khá nhầm lẫn. Những nhà học giả thường chấp nhận đầu hàng một số thứ, trong đó nói riêng là cơ hội làm ra nhiều tiền- một giáo sư rất khó có thể kiếm được £2000 một năm; và vị trí bảo đảm là một trong những yếu tố nói riêng làm sự đầu hàng này khá dễ dàng. Nhưng đó không phải là lý do tại sao Housman đã từ chối trở thành Nghị sỹ Simon hay Nghị sỹ Beaverbrook. Ông từ chối điều đó bởi vì tham vọng của chính bản thân mình, vì ông sẽ thấy khinh bỉ mình khi trở thành những con người sẽ bị quên lãng chỉ trong vòng 20 năm.

Mặc dù vậy, quả thật là đau đớn khi thấy rằng, với tất cả những lợi thế như vậy, một người có thể nhầm lẫn. Tôi vẫn nhớ Bertrand Russell có kể cho tôi về một giấc mơ khủng khiếp. Russell đang ở trên tầng trên cùng của thư viện trường đại học, khoảng năm 2100. Một người giúp việc ở thư viện đang đi vòng quanh các giá sách và mang theo một cái xô to khủng khiếp, lấy từng quyển sách một, liếc qua chúng, sau đó thì hoặc là xếp lại chúng trên giá hoặc là quẳng vào xô. Cuối cùng anh ta đi đến ba tập sách lớn, Russell có thể kịp nhận ra đó là những bản sao cuối cùng của Principia Mathematica. Người thủ thư lấy xuống một quyển, lật vài trang đầu, dường như suy nghĩ về những ký hiệu lạ lùng trong vài phút, đóng sách lại, cầm sách trong tay và cân nhắc…

–

Người dịch: Bùi Mạnh Hùng

Lời xin lỗi của một nhà Toán học[Phần 4]

Tôi nên nói một vài điều ở đây về vấn đề tuổi tác, vì nó là điều đặc biệt quan trọng cho các nhà toán học. Không có nhà toán học nào có thể cho phép mình quên rằng, toán học, hơn hẳn các môn nghệ thuật và khoa học khác, là một trò chơi của những người trẻ tuổi. Lấy một ví dụ đơn giản trong phạm vi nhỏ, tuổi trung bình của các thành viên trong viện hàn lâm là thấp nhất cho toán học.

Chúng ta có thể đưa ra nhiều thí dụ to tát hơn nhiều. Ví dụ như, ta có thể xem sự nghiệp của một con người chắc chắn là một trong ba nhà toán học vĩ đại nhất của thế giới. Newton từ bỏ toán học ở tuổi 50, và thực sự thì đã không còn hứng thú từ trước đó rất lâu rồi; chắc chắn ở tuổi 40 Newton đã nhận ra rằng những ngày tháng sáng tạo của mình sẽ không bao giờ còn nữa. Công trình và ý tưởng lớn nhất của ông, về vi phân và lực vạn vật hấp dẫn, nảy sinh trong đầu ông từ năm 1666, khi ông chỉ có 24 tuổi – ”những ngày đó, tôi đang ở đỉnh điểm cho những phát minh, cho toán học và triết học hơn bao giờ hết”. Newton có một số công trình vĩ đại khác khi ông gần 40 (quỹ đạo elliptic ở tuổi 37), nhưng sau đó thì ông làm rất ít và chỉ chau chuốt cho những gì mình đã làm.

Galois mất năm 21 tuổi, Abel năm 27, Ramanujan ở tuổi 33 và Riemann năm 40. Có một số người vẫn còn đưa ra những công trình vĩ đại một thời gian sau đó; kết quả của Gauss về hình học vi phân được công bố năm ông 50 (mặc dù ông đã có ý tưởng này từ 10 năm trước đó). Tôi không thể ngay lập tức đưa ra ví dụ về một thành tựu lớn đưa ra bởi một nhà toán học đã qua tuổi 50. Nếu một người đã nhiều tuổi mất đi hứng thú cho và từ bỏ toán học, sự mất mát đó có lẽ là không đáng kể, kể cả cho toán học hay cho bản thân ông ta.

Một mặt khác, cái lợi cũng không được là mấy; những thành tích ghi lại được của những nhà toán học đã bỏ toán cũng khá nản lòng. Newton làm công việc của mình khá tốt (chỉ khi ông không cãi nhau với những người khác). Painlevé không phải là một thủ tướng thành công của Pháp. Sự nghiệp chính trị của Laplace đầy tai tiếng, nhưng dù sao thì Laplace cũng không phải là một ví dụ tốt, thực sự ông không trung thực nhiều hơn là không có khă năng và không bao giờ có thể ”từ bỏ” toán học. Sẽ rất khó để tìm được một nhà toán học hạng nhất sau khi đã bỏ toán mà vẫn dành được danh tiếng xuất sắc trong một ngành nào đó khác (*). Cũng có thể có một số người trẻ tuổi đã có thể thành những nhà toán học bậc nhất nếu anh ta theo đuổi toán học nhưng tôi cũng chưa bao giờ được nghe một ví dụ lọt tai. Tuy nhiên tất cả những điều này chỉ hoàn toàn xuất phát từ những kinh nghiệm rất hạn chế của bản thân tôi. Những nhà toán học trẻ có tài năng thật sự mà tôi biết đều luôn chung thủy với toán học, và không hề thiếu tham vọng, thậm chí còn thừa những điều đó; tất cả họ đều nhận ra rằng, nếu như có cái gọi là danh vọng, thì đó là con đường sẽ dẫn họ đến.

(*) Pascal có lẽ là ví dụ điển hình nhất

Vẫn còn một lời giải thích khác mà tôi gọi là biến tấu nhỏ của lời xin lỗi thứ nhất; nhưng tôi có thể gạt bỏ chỉ trong vài từ.

(II) ”Chẳng có một cái gì mà tôi có thể làm được tốt. Tôi làm cái tôi đang làm vì đơn giản là nó xuất hiện trên con đường của tôi. Tôi chưa bao giờ có một cơ hội nào để làm cái gì khác cả.” Và lời xin lỗi này tôi cũng chấp nhận là khá thuyết phục. Cũng đúng khi nói rằng hầu hết mọi người không làm được cái gì giỏi. Nếu quả thực như vậy, thì việc người ấy chọn một ngành nghề nào cũng không ảnh hưởng gì lắm, và cũng chẳng còn gì để nói thêm nữa. Đó là một câu trả lời thuyết phục, nhưng khó có ai có thể nói như vậy với chút gì đó tự hào; và vì thế, tôi có thể giả sử là không ai trong chúng ta hài lòng về nó cả.

–

Người dịch: Bùi Mạnh Hùng

Lời xin lỗi của một nhà Toán học[Phần 6]

Tôi sẽ giả sử rằng tôi đang viết cho những người đọc đầy, hoặc trong quá khứ đã từng, tràn đầy lòng tham vọng. Nhiệm vụ đầu tiên của một con người, ít ra cho một người trẻ tuổi, là phải có nhiều khát vọng. Tham vọng là một niềm say mê cao quý mà có rất nhiều cách thể hiện; có một điều gì đó đáng khâm phục trong tham vọng của Attila hay Napoleon: niềm tham vọng cao quý nhất đó là để lại cho đời sau một thứ gì đấy có giá trị vĩnh cửu

Ở đây, trên những bãi cát dài,
Giữa những đại dương và đất liền,
Tôi sẽ viết hay xây cái gì đây,
Trước khi ánh đêm buông xuống?

Hãy chỉ cho tôi những điều thần bí
Đang chứa những cơn sóng tuôn trào,
Hay những pháo đài để thiết kế
Vẫn còn được nhớ mãi khi tôi qua đời.

Tham vọng luôn luôn là động lực đằng sau tất cả những công trình vĩ đại nhất của nhân loại. Nói riêng thì, thực tế cho thấy những đóng góp to lớn thiết thực cho hạnh phúc của loài người đều được tạo ra bởi những con người đầy tham vọng. Nếu phải lấy hai ví dụ nổi tiếng, chả nhẽ đấy không phải là tính cách của Lister và Pasteur? Hay một cách tương tự, vua Gillette và William Willett; ai trong thời gian gần đây đã cống hiến cho nhân loại nhiều hơn họ?

Sinh lý học cũng là một ví dụ khá tốt, vì đơn giản nó là một ngành khoa học có “lợi ích” thiết thực. Chúng ta phải cẩn thận trong sự nhầm lẫn chung của những lời xin lỗi cho khoa học: sự nhầm lẫn khi cho rằng những người mà công trình của họ đóng góp nhiều nhất cho lợi ích nhân loại thực sự nghĩ đến điều đó khi họ làm công việc của mình, hay nói riêng, một cách tương tự, đó là những nhà sinh lý học đều có một tâm hồn cao cả. Một nhà sinh lý học có lẽ sẽ rất vui mừng khi được biết công trình của mình có đóng góp cho loài người, nhưng động lực thúc đẩy và niềm khát vọng cho nó thực ra cũng chẳng khác gì so với những nhà học giả kinh điển hay một nhà toán học.

Có rất nhiều động lực cao quý dẫn con người đến việc nghiên cứu, nhưng chỉ có ba điều là quan trọng hơn cả. Điều đầu tiên (nếu như không có điều này thì hai điều sau cũng là vô nghĩa) đó là sự tò mò trí tuệ, niềm mong muốn tìm hiểu sự thật và vươn đến chân lý. Tiếp đó là sự kiêu hãnh trong nghề, sự khao khát muốn được hài lòng với công việc của mình, sự xấu hổ của bất cứ một người nghệ nhân tự tôn khi thấy thành quả của anh ta không xứng đáng với năng lực của mình. Và cuối cùng là tham vọng, khát vọng cho danh tiếng, địa vị và thậm chí có thể là quyền lực hay tiền bạc mà nó có thể mang lại. Nó có thể rất tuyệt vời khi anh cảm thấy công việc của mình đã đem lại hạnh phúc hay giảm những nối đau cho người khác, nhưng đó không phải là lý do anh làm như vậy. Do đó, nếu như một nhà toán học, hay một nhà hóa học, hay thậm chí một nhà sinh lý học nói với tôi rằng động lực thúc đẩy anh ta là lợi ích nhân loại thì tôi sẽ không thể tin được (tôi cũng không nghĩ về anh ta tốt hơn nếu như tôi có tin đi chăng nữa). Động lực chính của anh ta chắc chắn phải là những điều tôi đã đề cập ở trên, và chẳng ai cần phải xấu hổ vì chúng cả.

—

Người dịch: Bùi Mạnh Hùng

Lời xin lỗi của một nhà Toán học[Phần 2]

Tôi định đưa ra một lời xin lỗi cho toán học; và có thể ai đó sẽ nói điều đó là không cần thiết, bởi vì ngày nay đã có một số công trình được công nhận rộng rãi là có ích và rất đáng ca tụng, với lý do tốt hoặc xấu. Điều đó có lẽ là đúng; thực ra kể từ thành công vang dội của Einstein, thiên văn học các vì sao và vật lý nguyên tử dường như là hai ngành khoa học duy nhất trội hơn hẳn trong đánh giá của mọi người. Một nhà toán học không cần thiết phải coi mình như đang thủ thế. Không nhất thiết gặp phải sự đối nghịch như Bradley miêu tả việc bảo vệ của thần học trong phần giới thiệu của cuốn “Bề ngoài và thực tế (?)”.
Một nhà thần học, như Bradley viết, sẽ luôn được nghe mọi người nói “toàn bộ lý thuyết thần học là không thể có được”, hoặc “thậm chí nếu nó có thể đúng một phần nhỏ nào đó, nó cũng hoàn toàn không thể đưa ra một ứng dụng thực tế nào”. Cũng như vậy, “những vấn đề tương tự, những cuộc tranh luận như nhau, những thất bại hoàn toàn giống nhau. Sao không quên chúng đi và thoát ra khỏi vòng luẩn quẩn? Chả nhẽ không còn việc gì trên đời đáng giá hơn để làm nữa hay sao?”. Chắc chắn sẽ không có ai ngu ngốc đến mức dùng những lời đó cho toán học. Khối lượng đồ sộ của chân lý toán học là hiển nhiên; những ứng dụng thực tế như cầu, động cơ và máy hơi nước là không thể chối cãi. Có lẽ không ai cần phải thuyết phục là toán học có lợi ích thực tế nào đó cho cuộc sống.

Tất cả, nếu hiểu như thế này, dường như rất thỏa mãn cho những nhà toán học, nhưng thực sự một nhà toán học khó mà có thể chấp nhận được nó. Bất cứ nhà toán học thực thụ nào cũng phải cảm thấy rằng toán học không phải dựa trên những kết quả, những điều tầm thường như vậy, rằng danh tiếng và sự phổ biến rộng rãi của toán học đã được xây dựng phần lớn trên sự nhầm lẫn và thiếu hiểu biết của đa số người, và rằng có cách bảo vệ toán học hợp lý hơn như vậy. Dù thế nào đi nữa, tôi cũng quyết định sẽ đưa ra một lời giải thích. Điếu đó chắc sẽ là một công việc dễ dàng hơn lời xin lỗi của Bradley rất nhiều.

Để như vậy, tôi sẽ hỏi tại sao nghiên cứu về toán học lại thực sự đáng giá? Điều gì là lời giải thích hợp lý nhất cho cuộc đời của một nhà toán học? Và câu trả lời của tôi, như bao nhà toán học khác, sẽ đại loại là: Tôi nghĩ điều đó đáng giá và có vô vàn lời giải thích. Nhưng tôi sẽ nói trước là sự bảo vệ của tôi cho toán học sẽ là lời bảo vệ cho chính mình, và lời xin lỗi của tôi về mặt nào đó có vẻ như hơi tự cao tự đại. Tôi sẽ không nghĩ việc xin lỗi cho toán học là đáng giá nếu như tôi tự coi mình là một thất bại của chính bản thân nó.

Một phần của việc tự cao như thế này là không thể tránh khỏi, và tôi không nghĩ là cần phải giải thích cho điều đó. Những công trình vĩ đại không bao giờ được làm bởi những con người tầm thường. Một trong những nhiệm vụ đầu tiên của một nhà học giả là phải thổi phồng thêm một ít về sự quan trọng về công việc của mình và những đóng góp của mình trong nó. Một người luôn tự hỏi “Cái tôi đang làm có đáng giá không?” và “Tôi có đúng là người nên làm nó không?” sẽ làm anh ta trở thành một người vô tích sự và làm nhụt chí của cả những người khác. Điều anh ta nên làm là nhắm mắt lại một chút, nghĩ thêm một chút về công việc của mình và về mình hơn là nó đã đáng giá. Việc đó không phải quá khó: cái khó hơn đó là không được làm công việc của anh ta và chính mình trở nên lố bịch vì nhắm mắt lại quá chặt.

–

Người dịch:  Bùi Mạnh Hùng