3.2. Ký hiệu Legendre (trường hợp sơ cấp)

Định nghĩa.-Cho là một số nguyên tố khác , và cho . Kí hiệu Legendre của , kí hiệu bởi , là số nguyên .
Quy ước mở rộng tới toàn bởi . Hơn nữa, nếu có ảnh , ta viết .

Ta có : Kí hiệu Legendre là một “đặc trưng” (Xem ). Như đã thấy trong định lí , tương đương với ; nếu có như một căn bậc hai trong một bao đóng đại số của , thì

Tính với :

Nếu là một số nguyên lẻ, cho và là các phần tử của xác định bởi:
nếu và nếu .
nếu và nếu .
(Hàm là một đồng cấu của nhóm nhân lên nhóm ; tương tự, hàm là một đồng cấu của nhóm nhân lên nhóm .)

Định lí .-Các công thức sau đây thoả mãn:
i)
ii)
iii).

Chỉ công thức cuối cần một chứng minh. Nếu ký hiệu căn bậc của đơn vị trong một bao đóng đại số của , phần tử thoả mãn (từ ta có ). Ta có .
Nếu thì , do đó . Nếu thì . (Điều này lại có từ ) Do đó và ta có iii).

Chú ý. Định lí có thể phát biểu theo cách sau:
là bình phương nếu và chỉ nếu .
là bình phương nếu và chỉ nếu .

3.1. Các bình phương trong $\mathbb{F}_q$

Cho là luỹ thừa của một số nguyên tố .

Định lí .–(a)Nếu thì tất cả các phần tử của là các bình phương.
-(b)Nếu thì các bình phương của lập thành một nhóm con có chỉ số của ; nhóm con này là nhân của đồng cấu với giá trị trong . (Nói cách khác, ta có một dãy khớp ).

Trường hợp a) có được từ kết quả là một tự đẳng cấu của .
Với trường hợp b), gọi là một bao đóng đại số của ; nếu , lấy sao cho . Ta có vì . Để là bình phương trong điều kiện cần và đủ là nằm trong , nghĩa là . Do đó là  nhân của ánh xạ . Hơn nữa, vì là cyclic bậc nên chỉ số của bằng .