Daily Archive

You are currently browsing the daily archive for July 10th, 2009.

Đáp án đề thi Đại học môn Toán các khối B và D năm 2009

July 10, 2009 in Thi Đại học | Leave a comment

DaToanBCt2009

DaToanDCt2009

2.2. Định lý Chevalley

July 10, 2009 in [Translation]Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic | Leave a comment

Định lý 3 (Chevalley-Warning).-Cho f_{\alpha}\in K[X_1,\cdots,X_n] là các đa thức n biến sao cho \sum \deg f_{\alpha}<n, và cho V là tập các nghiệm chung của chúng trong K^n. Khi đó \text{Card}(V)\equiv 0\pmod{p}.

Đặt P=\prod_{\alpha} (1-f_{\alpha}^{q-1}) và cho x\in K^n. Nếu x\in V, tất cả f_{\alpha}(x) bằng 0 và P(x)=1; nếu x\not\in V, một trong các f_{\alpha}(x) khác 0 và f_{\alpha}^{q-1}(x)=1, do đó P(x)=0. Do đó P là hàm đặc trưng của V. Nếu với mỗi đa thức f chúng ta đặt S(f)=\sum_{x\in K^n}f(x), thì \text{Card}(V)\equiv S(P)\pmod{p}. Vậy chúng ta quy về việc chứng minh S(P)=0.

Gỉa thiết \sum_{\alpha}\deg f_{\alpha}<n cho ta \deg P<n(q-1); vậy P là một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức X^u=X_1^{u_1}\cdots X_n^{u_n} với \sum u_i<n(q-1). Sẽ là đủ nếu ta chứng minh được rằng với mỗi đơn thức X^u như vậy ta có S(X^u)=0, điều này có được từ bổ đề vì ít nhất một trong các u_i phải nhỏ hơn q-1.

Hệ quả 1.-Nếu \sum_{\alpha}\deg f_{\alpha}<n và nếu các f_{\alpha} không có từ hằng, thì các f_{\alpha} có nghiệm chung khác 0.

Thật vậy, nếu V=\{0\} thì \text{Card}(V) không thể chia hết cho p.

Hệ quả 1 có áp dụng đáng chú ý khi các f_{\alpha} là các đa thức thuần nhất. Nói riêng:

Hệ quả 2.-Tất cả dạng bậc hai trong ít nhất 3 biến trên K có nghiệm không tầm thường.

(Theo ngôn ngữ hình học: Mỗi conic trên trường hữu hạn có ít nhất một điểm hữu tỷ).

 

July 2009
M T W T F S S
« Jun   Aug »
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031