1.2. Nhóm nhân của một trường hữu hạn

Cho là một số nguyên tố, là một số nguyên dương và .

Định lí 2.- Nhóm nhân của một trường hữu hạn là cyclic có bậc .

Chứng minh. Nếu là một số nguyên dương, nhắc lại rằng kí hiệu -hàm Euler, nghĩa là số các số nguyên dương mà nguyên tố cùng nhau với (hay ảnh của nó trong là một phần tử sinh của nhóm cyclic này). Dễ thấy rằng số phần tử sinh của nhóm cyclic cấp bằng .

Bổ đề 1.-Nếu là một số nguyên dương thì . (Nhắc lại rằng ký hiệu nghĩa là là một ước của ).

Nếu là một ước của , gọi là nhóm con duy nhất của có bậc và là tập các phần tử sinh của . Vì mỗi phần tử của sinh ra một trong các nhóm nên là hợp rời rạc của các và chúng ta có .

Bổ đề 2.-Cho là một nhóm hữu hạn bậc . Gỉa sử rằng với mỗi ước của , tập các của sao cho có nhiều nhất phần tử. Khi đó là một nhóm cyclic.

Cho là một ước của . Nếu tồn tại của có bậc , nhóm con sinh bởi là nhóm cyclic bậc ; từ giả thiết ta có tất cả các phần tử của mà sẽ nằm trong . Nói riêng, tất cả phần tử có bậc đều là phần tử sinh của và số các phần tử này bằng . Như vậy, số các phần tử của có bậc là hoặc . Nếu nó bằng với một giá trị thì đẳng thức chứng tỏ số phần tử của nhỏ hơn , vô lí! Nói riêng, có phần tử của có bậc và là một nhóm cyclic.

Định lí được suy ra từ Bổ đề khi ta áp dụng nó với và ; dễ thấy rằng phương trình có bậc , có nhiều nhất nghiệm trong .

Chú ý. Chứng minh trên chứng tỏ tổng quát hơn rằng, tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm nhân của một trường là cyclic.

Đề thi Đại học môn Toán, khối A, năm 2009