Ta đã biết bốn phép toán trên hai số nguyên, đó là cộng, trừ, nhân và chia. Ba phép toán đầu tác động lên hai số nguyên sẽ cho một số nguyên nhưng phép toán thứ tư thì không như thế. Với một số nguyên m và một số nguyên khác không n ta nói m chia hết cho n (m là bội của n, n là ước của m) nếu có số nguyên p sao cho m=np, khi sự kiện này xảy ra ta sẽ viết n|m hoặc m\, \d{:} \, n. Thật không may, kí hiệu sau mặc dù được dùng thông dụng trong các sách giáo khoa Số học tại Việt Nam nhưng tôi không thể gõ được nó khi dùng \LaTeX . Bởi thế mà từ giờ cho đến cuối tôi sẽ dùng kí hiệu thứ nhất, các bạn học sinh khi làm bài thi chỉ được dùng ký hiệu thứ hai, thật quá rắc rối!

Định lý 1. Cho các số nguyên x,y,z. Khi đó ta có các tính chất sau

a)x|x;

b)Nếu x|y và y|z thì x|z;

c)Nếu x|y và y\not =0 thì |x|\leq |y|;

d)Nếu x|y và x|z thì x|my+nz\forall m,n\in\mathbb{Z};

e)Nếu x|y và x|y\pm z thì x|z;

f)Nếu x|y và y|x thì |x|=|y|.

Định lý 2. Với mỗi số nguyên dương a và b tồn tại duy nhất cặp (q,r) các số nguyên không âm sao cho a=bq+r và r<b. Ta nói r là dư, q là thương trong phép chia a cho b.

Ví dụ. Tìm q,r nếu

a)a=b=3;

b)a=78,b=9;

c)a=9,b=78.

Với các số nguyên ta có kết quả sau

Định lý 3. Với các số nguyên a,b mà b\not = 0, tồn tại duy nhất cặp (q,r) các số nguyên sao cho a=bq+r và 0\leq r<|b|.

Ví dụ. Tìm q,r nếu a=-98,b=-7.

Hệ quả 1. Mỗi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng 2k+1 hoặc 2k, với k là một số nguyên nào đó.

Hệ quả 2. Mỗi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng 3k,3k+1 hoặc 3k+2 với k là số nguyên nào đó.

\clubsuit Bạn có thể đưa ra một kết quả tương tự?

Số nguyên p>1 được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước dương là 1 và p. Vài số nguyên tố đầu tiên là 2,3,5,7,11,13.

\bigstar Hãy viết ra 12 số nguyên tố đầu tiên.

Số nguyên n>1 được gọi là một hợp số nếu nó không phải là một số nguyên tố, số 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số, hãy lưu ý điều này.

Bài 1. Cho số nguyên n>1. Chứng minh rằng ước dương khác 1 bé nhất của n phải là số nguyên tố. Từ đó suy ra rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 sẽ có ít nhất một ước nguyên tố và có vô số các số nguyên tố.

Bài 2. Nếu n là hợp số thì nó có ít nhất một ước nguyên tố không lớn hơn \sqrt{n}.

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên tố chẵn.

Bài 4. Tìm các số nguyên dương n để tất cả các số 3n-4,4n-5 và 5n-3 là nguyên tố.

Bài 5. Nếu p,q là các số nguyên tố sao cho phương trình x^2-px+q=0 có hai nghiệm nguyên dương phân biệt, hãy tìm p,q.

Bài 6. Hãy viết ra 2009 số nguyên dương liên tiếp mà chúng đều là hợp số cả.

Định lý 4 (Định lý cơ bản của số học). Mỗi số nguyên lớn hơn 1 đều có thể viết một cách duy nhất (không kể thứ tự) thành tích của các số nguyên tố.

Ví dụ. Tìm số các uớc dương của 24,120 và 600. Viết ra công thức cho số ước dương của một số nguyên dương n bất kỳ.

Hệ quả 1. Nếu p là một số nguyên tố, a và b là các số nguyên sao cho p|ab thì p|a hoặc p|b.

Trước khi đến với một hệ quả rất quan trọng chúng ta cần khái niệm ước chung lớn nhất: Cho hai số nguyên không đồng thời bằng 0. Ước chung lớn nhất của hai số này là một số nguyên dương, ký hiệu là (a,b), là ước của cả hai số đó và là số lớn nhất có tính chất này. Nếu (a,b)=1 ta nói hai số a và b là nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ. Tìm (-16,24).

Hệ quả 2.

a)Nếu a|bc và (a,b)=1 thì a|c;

b)Nếu a|c, b|c và (a,b)=1 thì ab|c.

Hệ quả b) được dùng rất nhiều trong các bài toán chứng minh quan hệ chia hết. Chẳng hạn, để chứng minh 120|c trước tiên ta phân tích 120 ra thành tích của các số a_i đôi một nguyên tố cùng nhau, sau đó chứng minh c chia hết cho tất cả các nhân tử này. Thường thì ta phân tích luôn số đó ra thừa số nguyên tố vì làm việc với các số nguyên tố nhìn chung là dễ chịu hơn nhiều (trong các bài toán chia hết).