Monthly Archive

You are currently browsing the monthly archive for June, 2009.

June 28, 2009 in Olympiad | Leave a comment

tugiacnoitiep_haiduongcheovuonggoc1

On the Concept of Genus in Topology and Complex Analysis, Friedrich E. P. Hirzebruch and Matthias Kreck

June 28, 2009 in [18++]Complex Analysis | Leave a comment

Thấy bài này hay trên Notices của AMS

genus

1.1. Các trường hữu hạn

June 26, 2009 in [Translation]Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic | Leave a comment

Cho $K$ là một trường giao hoán. Ảnh của $\mathbb{Z}$ trong $K$ là một miền nguyên, do đó sẽ đẳng cấu với $\mathbb{Z}$ hoặc $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , ở đó $p$ là một số nguyên tố; trường các thương của nó sẽ đẳng cấu với $\mathbb{Q}$ hoặc $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Trong trường hợp đầu, ta nói $K$ có đặc số không; trong trường hợp sau, ta nói $K$ có đặc số $p$ .

Đặc số của $K$ kí hiệu bởi $\text{char}(K)$ . Nếu $\text{char}(K)=p\not = 0$ , $p$ cũng là số nguyên dương $n$ bé nhất để $n\cdot 1=0$ .

Bổ đề.- Nếu $\text{char}(K)=p$ , ánh xạ $\sigma : x\mapsto x^p$ là một đẳng cấu của $K$ lên một trong các trường con của nó $K^p$ .

Chúng ta có $\sigma (xy)=\sigma (x)\sigma (y)$ . Hơn nữa hệ số nhị thức $C_p^k$ là đồng dư với $0\pmod{p}$ khi $0<k<p$ . Từ điều này sẽ được $\sigma (x+y)=\sigma (x)+\sigma (y)$ ; do vậy mà $\sigma$ là đồng cấu. Hơn nữa, $\sigma$ rõ ràng là đơn ánh.

Định lí 1.-i)Đặc số của một trường hữu hạn $K$ là một số nguyên tố $p$ ; nếu $f=[K:\mathbb{F}_p]$ , số phần tử của $K$ bằng $p^f$ .

ii)Cho $p$ là một số nguyên tố và cho $q=p^f(f\geq 1)$ là một luỹ thừa của $p$ . Cho $\Omega$ là một trường đóng đại số có đặc số $p$ . Có tồn tại duy nhất trường con $\mathbb{F}_q$ của $\Omega$ có $q$ phần tử. Nó là tập các nghiệm của đa thức $X^q-X$ .

iii)Tất cả trường hữu hạn với $q=p^f(f\geq 1)$ phần tử đều đẳng cấu với $\mathbb{F}_q$ .

Nếu $K$ hữu hạn, nó không chứa $\mathbb{Q}$ . Do vậy đặc số của nó là một số nguyên tố $p$ . Nếu $f$ là bậc của mở rộng $K/\mathbb{F}_p$ , rõ ràng là $\text{Card}(K)=p^f$ , và i) được chứng minh.

Mặt khác, nếu $\Omega$ là đóng đại số và có đặc số $p$ , bổ đề trên chứng tỏ là ánh xạ $x\mapsto x^q$ (ở đây $q=p^f(f\geq 1)$ ) là một tự đẳng cấu của $\Omega$ ; cụ thể, ánh xạ này là luỹ thừa bậc $f$ của tự đẳng cấu $\sigma : x\mapsto x^q$ (chú ý rằng $\sigma$ là toàn ánh vì $\Omega$ là đóng đại số). Do đó, các phần tử của $\Omega$ bất biết dưới tự đẳng cấu $x\mapsto x^q$ là một trường con $\mathbb{F}_q$ của $\Omega$ . Đạo hàm của đa thức $X^q-X$ là $qX^{q-1}-1=p\cdot p^{f-1}X^{q-1}-1=-1$ , và nó khác $0$ . Điều này kéo theo (vì $\Omega$ là đóng đại số) $X^q-X$ có $q$ nghiệm phân biệt, do đó $\text{Card}(\mathbb{F}_q)=q$ . Ngược lại, nếu $K$ là một trường con của $\Omega$ với $q$ phần tử, nhóm nhân $K^*$ các phần tử khác không của $K$ có $q-1$ phần tử. Khi đó $x^{q-1}=1$ nếu $x\in K^*$ và $x^q=x$ với $x\in K$ . Điều này chứng tỏ $K$ chứa trong $\mathbb{F}_q$ . Vì $\text{Card}(K)=\text{Card}(\mathbb{F}_q)$ ta có $K=\mathbb{F}_q$ , do vậy ta có ii).

Mệnh đề iii) có được từ ii) cùng với chú ý là mỗi trường có $p^f$ phần tử đều có thể nhúng vào $\Omega$ vì nó là đóng đại số.

[THCS] Bài tập về quan hệ chia hết trong Z

June 26, 2009 in Olympiad | Leave a comment

Đây là phần bài tập cho bài giảng mà tôi đã post ở đây

http://trungtuan.wordpress.com/2009/06/26/thcs-bai-gi%e1%ba%a3ng-th%e1%bb%a9-nh%e1%ba%a5t-v%e1%bb%81-ly-thuy%e1%ba%bft-s%e1%bb%91/

baitapquanhechiahet

[THCS] Bài giảng thứ nhất về Lý thuyết số

June 26, 2009 in Olympiad | 3 comments

Ta đã biết bốn phép toán trên hai số nguyên, đó là cộng, trừ, nhân và chia. Ba phép toán đầu tác động lên hai số nguyên sẽ cho một số nguyên nhưng phép toán thứ tư thì không như thế. Với một số nguyên $m$ và một số nguyên khác không $n$ ta nói $m$ chia hết cho $n$ ( $m$ là bội của $n$ , $n$ là ước của $m$ ) nếu có số nguyên $p$ sao cho $m=np$ , khi sự kiện này xảy ra ta sẽ viết $n|m$ hoặc $m\, \d{:} \, n$ . Thật không may, kí hiệu sau mặc dù được dùng thông dụng trong các sách giáo khoa Số học tại Việt Nam nhưng tôi không thể gõ được nó khi dùng $\LaTeX$ . Bởi thế mà từ giờ cho đến cuối tôi sẽ dùng kí hiệu thứ nhất, các bạn học sinh khi làm bài thi chỉ được dùng ký hiệu thứ hai, thật quá rắc rối!

Định lý 1. Cho các số nguyên $x,y,z$ . Khi đó ta có các tính chất sau

a) $x|x$ ;

b)Nếu $x|y$ và $y|z$ thì $x|z$ ;

c)Nếu $x|y$ và $y\not =0$ thì $|x|\leq |y|$ ;

d)Nếu $x|y$ và $x|z$ thì $x|my+nz\forall m,n\in\mathbb{Z}$ ;

e)Nếu $x|y$ và $x|y\pm z$ thì $x|z$ ;

f)Nếu $x|y$ và $y|x$ thì $|x|=|y|$ .

Định lý 2. Với mỗi số nguyên dương $a$ và $b$ tồn tại duy nhất cặp $(q,r)$ các số nguyên không âm sao cho $a=bq+r$ và $r<b$ . Ta nói $r$ là dư, $q$ là thương trong phép chia $a$ cho $b$ .

Ví dụ. Tìm $q,r$ nếu

a) $a=b=3$ ;

b) $a=78,b=9$ ;

c) $a=9,b=78$ .

Với các số nguyên ta có kết quả sau

Định lý 3. Với các số nguyên $a,b$ mà $b\not = 0$ , tồn tại duy nhất cặp $(q,r)$ các số nguyên sao cho $a=bq+r$ và $0\leq r<|b|$ .

Ví dụ. Tìm $q,r$ nếu $a=-98,b=-7$ .

Hệ quả 1. Mỗi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng $2k+1$ hoặc $2k$ , với $k$ là một số nguyên nào đó.

Hệ quả 2. Mỗi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng $3k,3k+1$ hoặc $3k+2$ với $k$ là số nguyên nào đó.

$\clubsuit$ Bạn có thể đưa ra một kết quả tương tự?

Số nguyên $p>1$ được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước dương là $1$ và $p$ . Vài số nguyên tố đầu tiên là $2,3,5,7,11,13$ .

$\bigstar$ Hãy viết ra $12$ số nguyên tố đầu tiên.

Số nguyên $n>1$ được gọi là một hợp số nếu nó không phải là một số nguyên tố, số $1$ không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số, hãy lưu ý điều này.

Bài 1. Cho số nguyên $n>1$ . Chứng minh rằng ước dương khác $1$ bé nhất của $n$ phải là số nguyên tố. Từ đó suy ra rằng mọi số nguyên lớn hơn $1$ sẽ có ít nhất một ước nguyên tố và có vô số các số nguyên tố.

Bài 2. Nếu $n$ là hợp số thì nó có ít nhất một ước nguyên tố không lớn hơn $\sqrt{n}$ .

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên tố chẵn.

Bài 4. Tìm các số nguyên dương $n$ để tất cả các số $3n-4,4n-5$ và $5n-3$ là nguyên tố.

Bài 5. Nếu $p,q$ là các số nguyên tố sao cho phương trình $x^2-px+q=0$ có hai nghiệm nguyên dương phân biệt, hãy tìm $p,q$ .

Bài 6. Hãy viết ra $2009$ số nguyên dương liên tiếp mà chúng đều là hợp số cả.

Định lý 4 (Định lý cơ bản của số học). Mỗi số nguyên lớn hơn $1$ đều có thể viết một cách duy nhất (không kể thứ tự) thành tích của các số nguyên tố.

Ví dụ. Tìm số các uớc dương của $24,120$ và $600$ . Viết ra công thức cho số ước dương của một số nguyên dương $n$ bất kỳ.

Hệ quả 1. Nếu $p$ là một số nguyên tố, $a$ và $b$ là các số nguyên sao cho $p|ab$ thì $p|a$ hoặc $p|b$ .

Trước khi đến với một hệ quả rất quan trọng chúng ta cần khái niệm ước chung lớn nhất: Cho hai số nguyên không đồng thời bằng $0$ . Ước chung lớn nhất của hai số này là một số nguyên dương, ký hiệu là $(a,b)$ , là ước của cả hai số đó và là số lớn nhất có tính chất này. Nếu $(a,b)=1$ ta nói hai số $a$ và $b$ là nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ. Tìm $(-16,24)$ .

Hệ quả 2.

a)Nếu $a|bc$ và $(a,b)=1$ thì $a|c$ ;

b)Nếu $a|c, b|c$ và $(a,b)=1$ thì $ab|c$ .

Hệ quả b) được dùng rất nhiều trong các bài toán chứng minh quan hệ chia hết. Chẳng hạn, để chứng minh $120|c$ trước tiên ta phân tích $120$ ra thành tích của các số $a_i$ đôi một nguyên tố cùng nhau, sau đó chứng minh $c$ chia hết cho tất cả các nhân tử này. Thường thì ta phân tích luôn số đó ra thừa số nguyên tố vì làm việc với các số nguyên tố nhìn chung là dễ chịu hơn nhiều (trong các bài toán chia hết).

[THCS] Một số bài toán về phương trình bậc hai

June 26, 2009 in Olympiad | 2 comments

Để làm được các bài toán ở đây các học sinh cần chắc các kiến thức về phương trình bậc hai (công thức nghiệm, định lý Viét, phương trình trùng phương,…) và cách giải bài toán xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol.

Bài 1. Cho phương trình $x^2+(2m-1)x-m-3=0. (*)$

a)Tìm các giá trị $m$ để $(*)$ có các nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_2-x_1=7$ ;

b)Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức $P=(x_1-x_2)^2$ có giá trị nhỏ nhất. Ở đây $x_1,x_2$ là các nghiệm của $(*)$ ;

c)Viết một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc $m$ .

Bài 2. Cho phương trình $x^2-2mx-m=0(1).$ Trong đó $m<-1$ là tham số.

a)Chứng minh rằng $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ .

b)Chứng minh rằng $x_1^2+2mx_2-m>0$ .

c)Xác định giá trị của $m$ để biểu thức $A=\dfrac{1}{x_1^2+2mx_2+11(m+1)}+\dfrac{1}{x_2^2+2mx_1+11(m+1)}$ có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 3. Tìm các giá trị $a\in\mathbb{Z}$ sao cho phương trình $5x^2-(2a-5)x+a^2+1=0$ có nghiệm nguyên.

Bài 4. Cho parabol $(P)$ có phưong trình $y=\dfrac{1}{4}x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=\dfrac{1}{2}x+2$ .

a)Chứng minh rằng $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ . Vẽ đường thẳng và parabol trên cùng một hệ trục toạ độ.

b)Xác định toạ độ của $M$ thuộc cung $AB$ của $(P)$ sao cho tam giác $MAB$ có diện tích lớn nhất.

Bài 5. Cho phương trình $(2m+3)x^2+2(m+1)x-1=0(1)$

a)Tìm $m$ để $(1)$ có nghiệm dương nhỏ hơn $1$ ;

b)Tìm $m$ để $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $|x_1^2-x_2^2|=1$ .

Bài 6. Cho parabol $(P)$ có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $mx-y=-1$ . Chứng minh rằng

a)Khi $m$ thay đổi thì $(d)$ luôn đi qua một điểm cố định $M$ và cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ ;

b)Tam giác $OAB$ vuông;

c) $|x_A-x_B|\geq 2$ .

Bài 7. Cho phương trình $mx^2+2(m-2)x+m-3=0$ . (1)

a)Xác định $m$ để (1) có hai nghiệm trái dấu;

b)Xác định $m$ để (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;

c)Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của $x_1^2+x_2^2$ .

Bài 8. Cho $a,b$ là các nghiệm của $x^2+x-1=0$ . Chứng minh rằng $a+b+a^3+b^3$ và $a^2+b^2+a^4+b^4$ là các số nguyên chia hết cho $5$ .

Bài 9. Cho phương trình $x^4-2(m+1)x^2+2m+1=0$ . (1)

a)Giải phương trình (1) khi $m=12$ ;

b)Tìm $m$ để (1) có bốn nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn bốn nghiệm đó trên trục số ta được ba đoạn liên tiếp bằng nhau.

Bài 10. Giải phương trình $(x^2-3x+3)(x^2-2x+3)=2x^2$ .

Bài 11. Cho phương trình $(m^2+1)x^2+2(m^2+1)x-m=0(1)$ , với $m$ là tham số. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $x_1^2+x_2^2$ , với $x_1,x_2$ là các nghiệm của (1).

Bài 12. Cho phương trình $(m+3)x^2-2(m^2+3m)x+m^3+12=0$ . (1)

a)Tìm số nguyên $m$ bé nhất sao cho (1) có hai nghiệm phân biệt;

b)Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình (1). Tìm số nguyên $m$ lớn nhất sao cho $x_1^2+x_2^2$ là số nguyên.

Bài 13. Cho phương trình $(x+1)^4-(m-1)(x+1)^2-m^2+m-1=0$ (1).

a)Giải phương trình với $m=-1$ ;

b)Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ ;

c)Gọi hai nghiệm của (1) là $x_1,x_2$ . Tìm $m$ để $|x_1|+|x_2|=2$ .

Bài 14. Cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=mx+1$ .

a)Chứng minh rằng $(P)$ luôn cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của $m$ ;

b)Gọi $A,B$ là các giao điểm nói trên. Tìm $m$ để $(y_A-1)(y_B-2)$ lớn nhất.

Bài 15. Cho phương trình $x^2+bx+c=0$ với $b,c$ là các tham số thoả mãn $b+c=4$ . Tìm $b,c$ để phương trình có các nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $x_1=x_2^2+x_2$ .

AMM 2008, đề bài và lời giải của tất cả 10 số trong năm

June 22, 2009 in Olympiad | Leave a comment

Nguồn: mathvn.org

[THCS] Các đẳng thức có điều kiện

June 21, 2009 in Olympiad | Leave a comment

Bài 1 . Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=0$ . Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3=3abc.$

Bài 2. Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thoả mãn $x+y+z=0$ .

Chứng minh rằng

$\sum_{\text{cyclic}}\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=\sum_{\text{cyclic}}\dfrac{x^3}{yz}.$

Bài 3. Cho các số thực $a,b,c,d$ thoả mãn $a+b+c+d=0$ . Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab).$

Bài 4. Cho $a,b,c$ là các số thực khác $0$ sao cho $a+b+c=0$ và $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ . Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2=\dfrac{6}{5}.$

Bài 5. Chứng minh rằng nếu $x,y,z$ là các số thực sao cho $x^3+y^3+z^3\not =0$ thì $\dfrac{2xyz-x-y-z}{x^3+y^3+z^3}=\dfrac{2}{3}\Longleftrightarrow x+y+z=0.$

Bài 6. Cho $x,y,z$ là các số thực thoả mãn $\sum (x-y)^2=\sum (x+y-2z)^2$ . Chứng minh rằng $x=y=z$ .

Bài 7. Cho các số thực $a,b,c$ khác $0$ thoả mãn điều kiện $a+2b-3c=0$ và $bc+2ca-3ab=0$ . Chứng minh rằng $a=b=c$ .

Bài 8. Cho ba số $m,n,p$ mà có tổng bằng $0$ . Chứng minh rằng

a) $m^3+m^2p-mnp+n^2p+n^3=0$ ;

b) $(m^2+n^2+p^2)^2-2(m^4+n^4+p^4)=0$ ;

c) $\dfrac{1}{n^2+p^2-m^2}+\dfrac{1}{p^2+m^2-n^2}+\dfrac{1}{m^2+n^2-p^2}=0.$

Bài 9. Chứng tỏ rằng giá trị của hai biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến $m,n,p$ nếu $m+n+p=0$

a) $S=\left(\dfrac{m-n}{p}+\dfrac{n-p}{m}+\dfrac{p-m}{n}\right)\left(\dfrac{p}{m-n}+\dfrac{m}{n-p}+\dfrac{n}{p-m}\right)$ .

b) $T=\left(1+\dfrac{m}{n}\right)\left(1+\dfrac{n}{p}\right)\left(1+\dfrac{p}{m}\right).$

Bài 10. Chứng minh rằng nếu $x,y,z$ là các số thực có tổng bằng $0$ thì

a) $2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)$ , và

b) $10(x^7+y^7+z^7)=7(x^2+y^2+z^2)(x^5+y^5+z^5)$ .

Bài 11. Chứng minh rằng nếu $a,b,c,d$ là các số thực thoả mãn $a^2+b^2=c^2+d^2=1$ và $ac+bd=0$ thì $a^2+c^2=b^2+d^2=1$ và $ab+cd=0$ .

Bài 12. Tính tổng $\dfrac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\dfrac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\dfrac{1}{1+x_3+x_3x_1}$ nếu biết $x_1>0,x_2>0,x_3>0$ và $x_1x_2x_3=1$ .

Bài 13. Chứng minh rằng nếu $m,n,p$ là các số hữu tỷ và $mn+np+pm=1$ thì tích $(1+m^2)(1+n^2)(1+p^2)$ là bình phương của một số hữu tỷ.

[THCS] Góc nội tiếp và tam giác đồng dạng

June 21, 2009 in Olympiad | Leave a comment

Bài này chúng ta sẽ đề cập đến các bài toán chứng minh các tam giác đồng dạng mà sử dụng công cụ góc nội tiếp.

Bài 1. Các đỉêm $A,B,C,D$ nằm trên một đường tròn cho trước. Gỉa sử $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $M$ . Chứng minh rằng $\dfrac{AC\cdot AD}{AM}=\dfrac{BC\cdot BD}{BM}.$

Bài 2. Đường thẳng $l$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ tại điểm $C$ . Các điểm $M,N$ là hình chiếu vuông góc của các điểm $A,B$ lên đường thẳng $l$ , tương ứng. Đỉêm $D$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên $AB$ . Chứng minh rằng $CD^2=AM\cdot BN.$

Bài 3. Các điểm $A,B,C$ nằm trên một đường tròn cho trước. Khoảng cách $BC$ lớn hơn khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $l$ , là tiếp tuyến của đường tròn tại $A$ . Đường thẳng $AC$ cắt đường thẳng vẽ qua $B$ song song với $l$ tại $D$ . Chứng minh rằng $AB^2=AC\cdot AD.$

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ với $AH$ là đường cao của nó. Một đường thẳng $l$ bất kỳ đi qua $A$ . Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B,C$ lên $l$ . Chứng minh rằng $\Delta ABC\sim \Delta HB_1C_1.$

Bài 5. Trên cung $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ lấy một điểm $P$ . Các đoạn $AP$ và $BC$ cắt nhau tại $Q$ . Chứng minh rằng $\dfrac{1}{PQ}=\dfrac{1}{PB}+\dfrac{1}{PC}.$

Bài 6. Một đường thẳng đi qua đỉnh $C$ của tam giác đều $ABC$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $M$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $N$ . Chứng minh rằng $CM\cdot CN=AC^2$ và $\dfrac{CM}{CN}=\dfrac{AM\cdot BM}{AN\cdot BN}.$

Bài 7. Xét hình bình hành $ABCD$ với góc tại đỉnh $A$ nhọn. Trên tia $AB$ và $CB$ lấy các điểm $H$ và $K$ tương ứng sao cho $CH=CB$ và $AK=AB$ . Chứng minh rằng

a) $DH=DK$ ;

b) $\Delta DKH\sim \Delta ABK$ .

Bài 8. Đường tròn $S_1$ có đường kính $AB$ giao với đường tròn $S_2$ có tâm tại $A$ tại các điểm $C$ và $D$ . Qua điểm $B$ vẽ một đường thẳng, nó cắt $S_2$ tại $M$ (nằm trong $S_1$ ) và nó cắt $S_1$ tại $N$ . Chứng minh rằng $MN^2=CN\cdot ND.$

Bài 9. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm $A,B$ . Qua $A$ vẽ các tiếp tuyến $AM,AN$ với hai đường tròn( $M,N$ là các điểm trên các đường tròn). Chứng minh rằng $\dfrac{BM}{BN}=\left(\dfrac{AM}{AN}\right)^2.$

	trungtuan on Một chứng minh của “Định…
	Duy Khánh on Một chứng minh của “Định…
	trungtuan on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	trungtuan on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	thang3886 on [THCS] Bài giảng thứ nhất về L…
	trungtuan on Tính tương thích của hai dãy…
	Redwane on FAQ
	Tun on Tính tương thích của hai dãy…
	trungtuan on Một số sách nên đọc đối với họ…
	99 on Một số sách nên đọc đối với họ…

Monthly Archive

Các đề thi Đại học (dự bị) môn Toán

[THCS] Tứ giác nội tiếp với các đường chéo vuông góc

On the Concept of Genus in Topology and Complex Analysis, Friedrich E. P. Hirzebruch and Matthias Kreck

1.1. Các trường hữu hạn

[THCS] Bài tập về quan hệ chia hết trong Z

[THCS] Bài giảng thứ nhất về Lý thuyết số

[THCS] Một số bài toán về phương trình bậc hai

AMM 2008, đề bài và lời giải của tất cả 10 số trong năm

[THCS] Các đẳng thức có điều kiện

[THCS] Góc nội tiếp và tam giác đồng dạng

Categories

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Blogroll

Number Theory Web

Meta

M	T	W	T	F	S	S
« Apr				Jul »
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30