Sharing

IMO 2009

July 15, 2009 in Mathematics, Olympiad | by trungtuan | Leave a comment

Danh sách các bạn thuộc đội tuyển năm nay

1.Hà Khương Duy, lớp 12A1 Toán,Khối THPT chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội.

2.Nguyễn Xuân Cương, lớp 12 Toán 1,THPT chuyên Nguyễn Trãi,Hải Dương.

3.Nguyễn Hoàng Hải, lớp 12A1 ,THPT chuyên Vĩnh Phúc,Vĩnh Phúc.

4.Phạm Đức Hùng, lớp 11 Toán,THPT NK Trần Phú,Hải Phòng.

5.Phạm Hy Hiếu, lớp 11 Toán,PT NK ĐHKHTN-ĐHQG TP Hồ Chí Minh.

6.Tạ Đức Thành, lớp 11 Toán,THPT CHV,Phú Thọ

Các bài toán của ngày thứ nhất:

Bài 1. Cho $n$ là một số nguyên dương và $a_1,\cdots, a_k$ là $k>1$ số nguyên đôi một khác nhau trong $\{1,2,\cdots, n\}$ sao cho $n|a_i(a_{i+1}-1)$ với $i=1,2,\cdots, k-1$ . Chứng minh rằng $n$ không chia hết $a_k(a_1-1)$ .

Bài 2. Cho $ABC$ là một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Các điểm $P,Q$ nằm trên các cạnh $CA, AB$ tương ứng. Gọi $K,L,M$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BP,CQ,PQ$ . Chứng minh rằng nếu $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(KLM)$ thì $OP=OQ$ .

Bài 3. Gỉa sử $(s_i)$ là dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho các dãy con $(s_{s_i})$ và $(s_{s_i+1})$ là các cấp số cộng. Chứng minh rằng dãy số đã cho cũng là một cấp số cộng.

—

Đề ngày 2 sẽ có trong comment dưới đây.

Faithful representation and center of a group

July 14, 2009 in Lie Algebras and Lie Groups, Mathematics | by cyclotomic | Leave a comment

In this topic we’ll solve following problem:

Let $\rho$ be an irreducible representation of $G$ of degree $n$ and character $\chi$ ; let $C$ be the center of $G$ and let $c$ be its order.

(a)Show that $\rho_s$ is a homothety for each $s\in C$ . Deduce from this that $|\chi(s)|=n$ for all $s\in C$ .

(b)Prove the inequality $n^2\leq \dfrac{g}{c}$ .

(c)Show that, if $\rho$ is faithful, the group $C$ is cyclic.

The problem is posted in the website mathscope.org by PnAT and solved by 2M and Vodka, they are members of the site too. This is it in detail:

(a)For each $s\in C$ and $h\in G$ we have $\rho_h\rho_s=\rho_{hs}=\rho_{sh}=\rho_s\rho_h$ . Therefore by Schur’s lemma we have $\rho_s$ is a homothety. Now for all $s\in C$ put $\rho_s=\lambda_sId_V$ , since $\rho_{s^g}=Id_V$ we have $\lambda_s$ is a root of unit, particularly $|\lambda_s|=1$ . Final, $|\chi(s)|=|Tr(\rho_s)|=|n\lambda_s|=n$ .

(b)This part is easy! In fact, we have $g=\sum_{s\in G}|\chi(s)|^2\geq \sum_{s\in C}|\chi(s)|^2=\sum_{s\in C}n^2=cn^2$ and we’re done.

(c)If $\rho$ is faithful then by all what above we can see $C$ as a subgroup of the group $g-$ th roots of unit, and therefore $C$ is cyclic.

Number Theory: Structures, Examples, and Problems

July 14, 2009 in Mathematics, Olympiad, THPT Chuyên Hạ Long, Uncategorized | by trungtuan | Leave a comment

Number Theory-Structures, Examples, and Problems_081763245X

Từ điển Toán học Anh-Việt

July 14, 2009 in Mathematics, Olympiad, THPT Chuyên Hạ Long, Uncategorized | by trungtuan | Leave a comment

Link download tudien-toanhoc

Đáp án đề thi Đại học môn Toán các khối B và D năm 2009

July 10, 2009 in Mathematics, THPT Chuyên Hạ Long, Thi Đại học | by trungtuan | Leave a comment

DaToanBCt2009

DaToanDCt2009

2.2. Định lý Chevalley

July 10, 2009 in Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic, Mathematics, Translation | by trungtuan | Leave a comment

Định lý 3 (Chevalley-Warning).-Cho $f_{\alpha}\in K[X_1,\cdots,X_n]$ là các đa thức $n$ biến sao cho $\sum \deg f_{\alpha}<n$ , và cho $V$ là tập các nghiệm chung của chúng trong $K^n$ . Khi đó $\text{Card}(V)\equiv 0\pmod{p}$ .

Đặt $P=\prod_{\alpha} (1-f_{\alpha}^{q-1})$ và cho $x\in K^n$ . Nếu $x\in V$ , tất cả $f_{\alpha}(x)$ bằng $0$ và $P(x)=1$ ; nếu $x\not\in V$ , một trong các $f_{\alpha}(x)$ khác $0$ và $f_{\alpha}^{q-1}(x)=1$ , do đó $P(x)=0$ . Do đó $P$ là hàm đặc trưng của $V$ . Nếu với mỗi đa thức $f$ chúng ta đặt $S(f)=\sum_{x\in K^n}f(x)$ , thì $\text{Card}(V)\equiv S(P)\pmod{p}$ . Vậy chúng ta quy về việc chứng minh $S(P)=0$ .

Gỉa thiết $\sum_{\alpha}\deg f_{\alpha}<n$ cho ta $\deg P<n(q-1)$ ; vậy $P$ là một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức $X^u=X_1^{u_1}\cdots X_n^{u_n}$ với $\sum u_i<n(q-1)$ . Sẽ là đủ nếu ta chứng minh được rằng với mỗi đơn thức $X^u$ như vậy ta có $S(X^u)=0$ , điều này có được từ bổ đề vì ít nhất một trong các $u_i$ phải nhỏ hơn $q-1$ .

Hệ quả 1.-Nếu $\sum_{\alpha}\deg f_{\alpha}<n$ và nếu các $f_{\alpha}$ không có từ hằng, thì các $f_{\alpha}$ có nghiệm chung khác $0$ .

Thật vậy, nếu $V=\{0\}$ thì $\text{Card}(V)$ không thể chia hết cho $p$ .

Hệ quả 1 có áp dụng đáng chú ý khi các $f_{\alpha}$ là các đa thức thuần nhất. Nói riêng:

Hệ quả 2.-Tất cả dạng bậc hai trong ít nhất $3$ biến trên $K$ có nghiệm không tầm thường.

(Theo ngôn ngữ hình học: Mỗi conic trên trường hữu hạn có ít nhất một điểm hữu tỷ).

Đề thi Đại học môn Toán khối B năm 2009

July 9, 2009 in Mathematics, THPT Chuyên Hạ Long, Thi Đại học | by trungtuan | Leave a comment

Đề thi Đại học môn Toán khối D năm 2009

July 9, 2009 in Mathematics, THPT Chuyên Hạ Long, Thi Đại học | by trungtuan | Leave a comment

2.1. Tổng các luỹ thừa

July 9, 2009 in Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic, Mathematics, Translation | by trungtuan | Leave a comment

Cho $q$ là luỹ thừa của một số nguyên tố $p$ , và $K$ là một trường có $q$ phần tử.

Bổ đề. -Cho $u$ là một số nguyên không âm. Tổng $S(X^u)=\sum_{x\in K}x^u$ bằng $-1$ nếu $u\geq 1$ và chia hết cho $q-1$ ; nó bằng $0$ trong các trường hợp còn lại.

(Chúng ta quy ước là $x^u=1$ nếu $u=0$ ngay cả khi $x=0$ ).

Nếu $u=0$ , tất cả số hạng của tổng bằng $1$ ; do đó $S(X^u)=q\cdot 1=0$ bởi vì $K$ là trường có đặc số $p$ .

Nếu $u\geq 1$ và chia hết cho $q-1$ , chúng ta có $0^u=0$ và $x^u=1$ nếu $x\not =0$ . Do đó $S(X^u)=(q-1)\cdot 1=-1$ .

Cuối cùng, nếu $u\geq 1$ và không chia hết cho $q-1$ , sự kiện $K^*$ là nhóm cyclic có bậc $q-1$ (Định lí 2) chứng tỏ rằng tồn tại $y\in K^*$ sao cho $y^u\not =1$ . Ta có $S(X^u)=\sum_{x\in K^*}x^u=\sum_{x\in K^*}y^ux^u=y^uS(X^u)$ và $(1-y^u)S(X^u)=0$ từ đây ta có $S(X^u)=0$ .

(Biến thể -Sử dụng sự kiện nếu $d>1$ nguyên tố với $p$ thì tổng các căn bậc $d$ của đơn vị bằng $0$ ).

Bài giảng Phương trình hàm của Marko Radovanovíc

July 8, 2009 in Mathematics, Olympiad, THPT Chuyên Hạ Long | by trungtuan | 3 comments

Bài giảng này khá gọn. Các bạn lớp 10T lấy về và căn cứ theo đó mà tìm hiểu thêm. Có nhiều cuốn khác về PTH nhưng các bạn còn nhiều cái khác phải học.

funeqn_mr,Marko Radovanovic

M	T	W	T	F	S	S
« Jun
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

	trungtuan on About
	Phạm Đăng Hải on About
	trungtuan on About
	Phạm Đăng Hải on About
	trungtuan on About
	Phạm Đăng Hải on About
	trungtuan on About
	Phạm Đăng Hải on About
	trungtuan on About
	Phạm Đăng Hải on About

Sharing

IMO 2009

Faithful representation and center of a group

Number Theory: Structures, Examples, and Problems

Từ điển Toán học Anh-Việt

Đáp án đề thi Đại học môn Toán các khối B và D năm 2009

2.2. Định lý Chevalley

Đề thi Đại học môn Toán khối B năm 2009

Đề thi Đại học môn Toán khối D năm 2009

2.1. Tổng các luỹ thừa

Bài giảng Phương trình hàm của Marko Radovanovíc

CÁC TÁC GIẢ

TÌM KIẾM

LỊCH

CÁC TRANG

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ MỚI

PHẢN HỒI MỚI

Tags

LƯU TRỮ

Blogroll

Number Theory Web

VNN (Giáo dục)

Meta

Blog Stats

Cách gõ LaTeX trên Blog